Presentamos ejemplos sobre cómo encontrar la descomposición LU de una matriz utilizando las operaciones de fila .
También se incluyen ejemplos con soluciones detalladas.
Para obtener una descomposición LU , utilizamos la multiplicación de matrices elementales que son equivalentes a las operaciones de fila. Sin embargo, no se permite intercambiar filas.
Una descomposición LU de una matriz dada A se puede escribir como
A = LU
donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior.
Una matriz elemental es una matriz que difiere de la matriz identidad por una sola operación elemental.
Ejemplo de una matriz elemental:
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
- 3 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)
Difiere de la matriz identidad \( \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\) por un solo elemento, que es \( -3 \) .
Consideremos la matriz \( A \) de \( 3 \) por \( 3 \) dada por:
\( A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2\\
0 & -2 & 1 \\
3 & 3 & 1
\end{bmatrix}
\)
Sumemos \( - 3 \) veces la fila (1) a la fila (3) en la matriz anterior para obtener una nueva matriz \( B' \) dada por.
\( B' = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2\\
0 & -2 & 1 \\
0 & 3 & 7
\end{bmatrix}
\)
Otra forma de obtener la matriz \( B' \) a partir de la matriz \( A \) es multiplicar la matriz \( A \) por la matriz elemental \( E_1= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
- 3 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\) que se ha obtenido de la matriz identidad sumando \( - 3 \) veces la fila (1) a la fila (3).
Podemos comprobar que \( B' = E_1 A \) de la siguiente manera
\( B' = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2\\
0 & -2 & 1 \\
0 & 3 & 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
- 3 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2\\
0 & -2 & 1 \\
3 & 3 & 1
\end{bmatrix}
\)
En general, sumar \( k \) veces la fila \( j (=3 \; \text{por ejemplo})\) a la fila \( m (=4 \; \text{por ejemplo})\) en una matriz \( 4 \times 4 \) es equivalente a multiplicar por una matriz elemental de la forma:
\[ E_1 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & k & 1
\end{bmatrix}
\]
que difiere de la matriz identidad por un elemento en la fila \( m (=4)\) y columna \( j (=3)\); es \( k \) en lugar de cero.
Una de las propiedades más importantes de las matrices elementales es su inversa. La inversa de la última matriz es simplemente
\[ E_1^{-1}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & - k & 1
\end{bmatrix}
\]
No se cambia una matriz si se multiplica por el producto \( \color{red}{E_1^{-1}} \color{blue}{E_1} \) ya que es la matriz identidad.
Un calculadora en línea de descomposición LU de matrices está incluida y puede ser utilizada para verificar las soluciones y respuestas a continuación.
Ejemplo 1
Encuentra la composición \( LU \) de la matriz \( A = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
2 & -1
\end{bmatrix}
\).
Solución al Ejemplo 1
La idea es usar multiplicaciones por matrices elementales para reescribir el producto de la derecha como un producto de una matriz triangular inferior (L) y una matriz triangular superior (U).
Procedemos transformando la matriz dada en una matriz triangular superior que tiene ceros debajo de la diagonal.
Para crear un cero al principio de la fila (2), necesitamos sumar \( -2 \) veces la fila (1) a la fila (2), lo que equivale a multiplicar por la matriz elemental \( \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
\) y, como no queremos cambiar la matriz \( A \), también necesitamos multiplicar por la inversa de \( \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
\).
por lo tanto
\( A = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
2 & -1
\end{bmatrix} =
\color{red}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
^{-1}}
\color{blue}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
2 & -1
\end{bmatrix}
\)
La inversa de \( \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{bmatrix} \) está dada fácilmente por \( \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{bmatrix} \)
Simplificamos lo anterior para obtener matrices triangulares inferior y superior
\( A = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
2 & -1
\end{bmatrix} =
\color{red}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
}
\color{blue}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
2 & -1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\)
La matriz \( A \) ahora está escrita como el producto de una matriz inferior \( \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{bmatrix} \) y una matriz triangular superior \( \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\).
Ejemplo 2
Encuentra la composición \( LU \) de la matriz \( A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
2 & 0 & 3\\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix}
\).
Solución al Ejemplo 2
Necesitamos crear un cero en la columna (1) fila (2) sumando \( 2 \) veces la fila (1) a la fila (2). Usando matrices elementales podemos escribir
\( A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
2 & 0 & 3\\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix} =
\color{red}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} ^{-1}
}
\color{blue}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
}
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
2 & 0 & 3\\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix}
\)
Simplificamos lo anterior manteniendo la matriz triangular inferior separada
\( A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
2 & 0 & 3\\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix} =
\color{red}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
-2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
}
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
0 & -2 & 7\\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix}
\)
Ahora necesitamos crear un cero en la columna (1) fila (3) de la matriz de la derecha sumando \( - 3 \) veces la fila (1) a la fila (3). Usando matrices elementales, escribimos
\( A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
2 & 0 & 3\\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
-2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\color{red}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
-3 & 0 & 1
\end{bmatrix} ^{-1}
}
\color{blue}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
-3 & 0 & 1
\end{bmatrix}
}
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
0 & -2 & 7\\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix}
\)
Simplificamos manteniendo la matriz triangular inferior separada
\( A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
2 & 0 & 3\\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
-2 & 1 & 0\\
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
0 & -2 & 7\\
0 & 5 & -7
\end{bmatrix}
\)
Ahora necesitamos crear un cero en la columna (2) fila (3) de la matriz de la derecha sumando \( \dfrac{5}{2} \) veces la fila (1) a la fila (3). Usando matrices elementales, escribimos
\( A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
2 & 0 & 3\\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
-2 & 1 & 0\\
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\color{red}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 5/2 & 1
\end{bmatrix}^{-1}
}
\color{blue}{
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 5/2 & 1
\end{bmatrix}
}
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
0 & -2 & 7\\
0 & 5 & -7
\end{bmatrix}
\)
Simplificamos y mantenemos las matrices triangulares inferior y superior
\( A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 2\\
2 & 0 & 3\\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
-2 & 1 & 0\\
3 &-\frac{5}{2} & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1&-1&2\\
0&-2&7\\
0&0&\frac{21}{2}
\end{bmatrix}
\)
La matriz dada se ha escrito como el producto de una matriz triangular inferior y una superior.
Ejemplo 3
Encuentra la composición \( LU \) de la matriz \( A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & -4 & -1\\
-2 & 0 & -4 & -4\\
1 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\).
Solución al Ejemplo 3
Combinaremos operaciones de fila y, por lo tanto, reduciremos los pasos.
1) Sumar \( \color{red}{- 2} \) veces la fila (1) a la fila (2)
2) Sumar \( \color{red}{1} \) vez la fila (1) a la fila (3)
\( A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & -4 & -1\\
-2 & 0 & -4 & -4\\
1 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
\color{red}{2} & 1 & 0 & 0\\
\color{red}{-1} & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & -4 & -1\\
0 & 2 & 4 & -2\\
0 & -2 & -2 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\)
1) Sumar \( \color{red}{1} \) vez la fila (2) a la fila (3)
2) Sumar \( \color{red}{- 1/2} \) veces la fila (2) a la fila (4)
\( A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & -4 & -1\\
-2 & 0 & -4 & -4\\
1 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 & 0\\
-1 & \color{red}{-1} & 1 & 0\\
0 & \color{red}{1/2} & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & -4 & -1\\
0 & 2 & 4 & -2\\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{bmatrix}
\)
1) Sumar \( \color{red}{1/2} \) veces la fila (3) a la fila (4)
\( A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 & -4 & -1\\
-2 & 0 & -4 & -4\\
1 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 & 0\\
-1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 1/2 & \color{red}{-1/2} & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & -4 & -1\\
0 & 2 & 4 & -2\\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\)
La matriz dada se ha escrito como el producto de una matriz triangular inferior y una superior.
Ejemplo 4
¿Cuáles de las siguientes matrices invertibles tienen una descomposición LU?
a) \( \begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 2 &
\end{bmatrix} \)
, b) \( \begin{bmatrix}
-1 & -1 & -4 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix} \) , c) \( \begin{bmatrix}
2 & 2 & 8 & 2\\
0 & 2 & 4 & -2\\
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 4 & -1 & 0
\end{bmatrix}
\)
Solución al Ejemplo 4
a)
Calculamos todos los menores principales.
\( M_1 = Det \begin{bmatrix}
0\\
\end{bmatrix} = 0 \) , \( M_2 = Det \begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 2 &
\end{bmatrix} = -1 \)
La matriz es invertible y uno de sus menores principales líderes es igual a cero, por lo tanto, la matriz dada no tiene una descomposición LU.
b)
\( M_1 = Det \begin{bmatrix}
-1\\
\end{bmatrix} = -1 \) , \( M_2 = Det \begin{bmatrix}
-1 & -1\\
-2 & 0&
\end{bmatrix} = -2 \) , \( M_3 = Det \begin{bmatrix}
-1 & -1 & -4 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix} = -4\)
La matriz es invertible y ninguno de sus menores principales líderes es igual a cero, por lo tanto, la matriz dada tiene una descomposición LU dada por:
\(
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & -4 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & -1 & -4 \\
0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\)
c)
\( M_1 = Det \begin{bmatrix}
2\\
\end{bmatrix} = 2 \) , \( M_2 = Det \begin{bmatrix}
2 & 2\\
0 & 2&
\end{bmatrix} = 4 \) , \( M_3 = Det \begin{bmatrix}
2& 2 & 8 \\
0 & 2 & 4 \\
1 & 0 & 2
\end{bmatrix} = 0\) , \( M_4 = Det \begin{bmatrix}
2 & 2 & 8 & 2\\
0 & 2 & 4 & -2\\
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 4 & -1 & 0
\end{bmatrix} = -72\)
La matriz es invertible y uno de sus menores principales líderes es igual a cero, por lo tanto, la matriz dada no tiene una descomposición LU.
Encuentra la descomposición LU, si existe, de las matrices:
a) \( \begin{bmatrix}
3 & -1\\
-1 & 2 &
\end{bmatrix} \)
, b) \( \begin{bmatrix}
2 & -1 & -1 \\
1 & 2 & 0\\
2 & -1 & 2
\end{bmatrix} \) , c) \( \begin{bmatrix}
-1 & 2 & 0 & 2\\
2 & 2 & 0 & -2\\
1 & 0 & -2 & 0 \\
2 & 4 & -1 & 0
\end{bmatrix}
\)
Respuestas
a)
\( \begin{bmatrix}
3 & -1\\
-1 & 2 &
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
-1/3 & 1 &
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & -1\\
0 & 5/3 &
\end{bmatrix}
\)
b)
\( \begin{bmatrix}
2 & -1 & -1 \\
1 & 2 & 0\\
2 & -1 & 2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1/2 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1 \\
0 & 5/2 & 1/2\\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix}
\)
c)
\( \begin{bmatrix}
-1 & 2 & 0 & 2\\
2 & 2 & 0 & -2\\
1 & 0 & -2 & 0 \\
2 & 4 & -1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
-2 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 1/3 & 1 & 0 \\
-2 & 4/3 & 1/2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 0 & 2\\
0 & 6 & 0 & 2\\
0 & 0 & -2 & 4/3 \\
0 & 0 & 0 & 2/3
\end{bmatrix}
\)