Variables Libres y Básicas de una Matriz - Ejemplos con Soluciones

Variables Libres y Básicas de una Matriz que Representa un Sistema de Ecuaciones

Definición Para un sistema de ecuaciones en forma escalonada por filas, que por supuesto puede estar representado por la matriz aumentada, una variable cuyo coeficiente es un 1 principal (pivote) se llama variable básica y una variable sin pivote se llama variable libre.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones en forma escalonada por filas

La matriz aumentada en forma escalonada por filas del sistema anterior es la siguiente

Según la definición anterior
$x_1\text{, }{x}_3$ y $x_4$ son las variables básicas y $x_2$ y $x_5$ son las variables libres.
Cuando resolvemos el sistema anterior, expresamos las variables básicas en términos de las variables libres
La tercera ecuación del sistema da
  $x_4=x_5$
La segunda ecuación da
  $x_3=2x_5$
La primera ecuación da
${\displaystyle x_1=-<!--\; -\; -->2x_2+x_3-<!--\; -\; -->x_4+3x_5}$
Sustituimos las variables básicas en el lado derecho
${\displaystyle x_1=-<!--\; -\; -->2x_2+2x_5-<!--\; -\; -->x_5+3x_5}$
Simplificamos
$x_1=-<!--\; -\; -->2x_2+4x_5$
Las variables básicas se escriben en términos de las variables libres como
$x_1=-2x_2+4x_5$
$x_3=2x_5$
$x_4=x_5$
donde $x_2$ y $x_5$ pueden ser cualquier número real, de ahí su nombre como "variables libres".
Definición El uso de variables libres nos ayuda a escribir una fórmula explícita para las soluciones de nuestro sistema.

Preguntas con Solución

Para cada una de las siguientes matrices aumentadas en forma escalonada por filas, ¿cuáles son las variables básicas y cuáles son las variables libres?

1. $\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 3& 0& 0\\ 0& 0& 1& -3& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$


2. $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$


3. $\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 0& -1& -2& 0\\ 0& 1& 1& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$


4. $\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Al ser matrices aumentadas, el número de variables es igual al número de columnas de la matriz dada menos 1.
Por ejemplo, para una matriz de 5 columnas, el número de variables es 5 - 1 = 4, denominadas $x_1$, $x_2$, $x_3$ y $x_4$.

1. La matriz 1 tiene dos pivotes y 4 variables.
   El primer pivote está en la fila 1 columna 1; por lo tanto, $x_1$ es una variable básica.
   El segundo pivote está en la fila 2 columna 3; por lo tanto, $x_3$ también es una variable básica.
   Las variables restantes: $x_2$ y $x_4$ son variables libres.
   
   
2. La matriz 2 tiene dos pivotes y 2 variables.
   El primer pivote está en la fila 1 columna 1; por lo tanto, $x_1$ es una variable básica.
   El segundo pivote está en la fila 2 columna 2; por lo tanto, $x_2$ es una variable básica.
   No hay variables libres.
   
   
3. La matriz 3 tiene 3 pivotes y 5 variables.
   El primer pivote está en la fila 1 columna 1; por lo tanto, $x_1$ es una variable básica.
   El segundo pivote está en la fila 2 columna 2; por lo tanto, $x_2$ es una variable básica.
   El tercer pivote está en la fila 3 columna 4; por lo tanto, $x_4$ es una variable básica.
   Las variables restantes: $x_3$ y $x_5$ son variables libres.
   
   
4. La matriz 4 tiene dos pivotes y 3 variables.
   El primer pivote está en la fila 1 columna 1; por lo tanto, $x_1$ es una variable básica.
   El segundo pivote está en la fila 2 columna 3; por lo tanto, $x_3$ es una variable básica.
   La variable restante: $x_2$ es una variable libre.
   

Más Referencias y Enlaces

1. Pivotes de una Matriz en Forma Escalonada por Filas
2. Álgebra Lineal
3. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación
4. Matrices Elementales