Multiplicación y Potencia de Matrices

Las multiplicaciones de matrices se presentan utilizando ejemplos y preguntas con soluciones.

Multiplicación de Matrices Fila y Columna

Sea A una matriz fila de orden 1 × p con entradas a1j y B una matriz columna de orden p × 1 con entradas bj1. La multiplicación de la matriz A por la matriz B es una matriz 1 × 1 definida por:
multiplicación de matriz fila por columna
Ejemplo 1
Las matrices A y B están definidas por
ejemplo de fila y columna
Encuentre la matriz A B.

Solución
solución a la multiplicación de fila por columna

Multiplicación de Matrices

Ahora aplicamos la idea de multiplicar una fila por una columna para multiplicar matrices más generales. Sea A una matriz m × p y B una matriz p × n. Sean R1, R2, ... Rm las filas de la matriz A y C1, C2, ... Cn las columnas de la columna B y escriba las dos matrices como:
multiplicación de columna por fila
El producto de las dos matrices A y B es la matriz C de orden m × n definida por
resultado de multiplicación de columna por fila

Ejemplo 2
Encuentre el producto
\( \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & - 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \)

Solución
La matriz de la izquierda tiene 2 filas R1 y R2 la matriz de la derecha tiene 2 columnas C1 y C2. Su producto está dado por:

\( \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & - 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} C_1 & C_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1\cdot C_1 & R_1 \cdot C_2 \\ R_2\cdot C_1 & R_2 \cdot C_2 \end{bmatrix} \)

\( = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(2)+(-1)(1)+(0)(-1) & (2)(-2) + (-2)(0) +(0)(2) \\ (1)(2)+(2)(1)+(2)(-1) & (1)(-2) + (2)(0) +(2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \)

Potencia de una Matriz

La potencia de una matriz cuadrada A se define de la siguiente manera:
\( A^0 = I \), \(I \) la matriz identidad
\( A^n = A A .... A \) (n veces) , donde n es un número entero positivo.
Si m y n son números enteros positivos, entonces
\( A^m A^n = A^{m+n} \)
\( (A^m)^n = A^{m n} \)

Propiedades de la Multiplicación de Matrices

  1. El producto \( A B \) de dos matrices \( A \) y \( B \) está definido si el número de columnas de la matriz \( A \) es igual al número de filas de la matriz \( B \).
  2. En general, el producto de dos matrices no es conmutativo: \( A B \ne B A \)
  3. La multiplicación de matrices es asociativa: \( (A B) C = A ( B C) \) si todas las multiplicaciones están definidas.
  4. La multiplicación de matrices es distributiva: \( A ( B + C ) = A B + A C \) y \( ( A + B ) C = A C + B C \)
  5. Multiplicación por una matriz identidad \( I \): \( A I = I A = A\) , esto se cumple para matrices cuadradas de dimensión n por n.
  6. Para α y β reales: \( \alpha ( A + B ) = \alpha A + \alpha B \)
  7. Para α y β reales: \( \alpha ( \beta A ) = \alpha \beta ( A ) \)
  8. Para α y β reales: \( (\alpha + \beta) A = \alpha A + \beta A \)
  9. Para α real: \( \alpha ( A B ) = (\alpha A) B = A (\alpha B) \)

Preguntas sobre Multiplicación de Matrices

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Más Referencias y Enlaces