Cambio de Base en Fórmulas de Logaritmos con Ejemplos

Se presenta la demostración de la fórmula de cambio de base para los logaritmos

Fórmula de Cambio de Base

Sea \( y = a^x \) y conviértalo a logaritmo para escribir \[ \log_a \; y = x \qquad (1) \] Tome el \( \log_b \), donde \( b \gt 0 \) y \( b \ne 1 \), de ambos lados de \( y = a^x \) para obtener \[ \log_b \; y = \log_b \; (a^x) \] Use las reglas de los logaritmos para escribir \( \log_b \; a^x \) como \( x \; \log_b \; a \) y sustituya en la ecuación anterior. \[ \log_b \; y = x \log_b \; a \] Sustituya \( x \) en lo anterior por \( \log_a \; y \) de \( (1) \) para escribir \[ \log_b \; y = \log_a \; y \; \log_b \; a \] Resuelva lo anterior para \( \log_a \; y \) para obtener la fórmula de cambio de base \[ \log_a \; y = \dfrac{\log_b \; y }{\log_b \; a } \] Puede elegir cualquier base \( b \), tal que \( b \gt 0 \) y \( b \ne 1 \), para reescribir cualquier logaritmo.


Ejemplos de Aplicaciones de la Fórmula de Cambio de Base

Ejemplo 1

a) Evalúe \( \log_4 \; 16 \) notando que \( 16 = 4^2 \)
b) Use la fórmula de cambio de base para reescribir \( \log_4 \; 16 \) usando \( \log \) con base \( 2 \) y evalúelo nuevamente. Compare

Solución

a) \[ \log_4 \; 16 = \log_4 \; 4^2 = 2 \] b) reescriba \( \log_4 \; 16 \) usando la fórmula de cambio de base con logaritmo de base \( 2 \), \[ \log_4 \; 16 = \dfrac{\log_2 \; 16 }{\log_2 \; 4 } \] Note que \( 4 = 2^2 \) y \( 16 = 2^4 \), por lo tanto \[ \log_4 \; 16 = \dfrac{\log_2 \; 2^4 }{\log_2 \; 2^2 } = \dfrac{4}{2} = 2\] La evaluación de \( \log_4 \; 16 \) en a) y b) da el mismo resultado como se esperaba.


Ejemplo 2

Exprese \( \log_2 x \) usando el logaritmo natural \( \ln \)

Solución

Usando la fórmula de cambio de base con el logaritmo natural \( \ln \), escribimos \[ \log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2} \]

Los resultados del ejemplo 2 tienen implicaciones importantes para calcular la derivada y la integral de logaritmos con cualquier base.

Más Referencias y Enlaces

  1. Convertir Logaritmos y Exponenciales
  2. Reglas de Logaritmos y Exponenciales - Preguntas con Soluciones