Los pasos para encontrar la integral de una función logarítmica a cualquier base se presentan a continuación.
Uso de la fórmula de cambio de base
Sea \( y = \log_a x \).
Utiliza la fórmula de cambio de base para reescribir \( y = \log_a x \) usando el logaritmo natural (\( \ln \)):
\[ y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \]Evaluamos ahora la integral:
\[ \int \log_a x \, dx = \int \left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right) dx \]Como \( \ln a \) es una constante, podemos sacarla como factor común:
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} \int \ln x \, dx \qquad (I) \]La integral de \( \ln x \) está dada por:
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \]Sustituye esto de nuevo en la ecuación (I) para obtener:
Fórmula de la integral para \( \log_a x \):
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} (x \ln x - x) + c \]