Resolver Problemas de Exponenciales y Logaritmos
Problemas sobre Exponenciales y Logaritmos, algunos de los conceptos más importantes en matemáticas, se presentan junto con soluciones detalladas.
Problema 1:
La población P de una ciudad aumenta según la fórmula
\[ P = 5000 e^{a t}\]
donde \( t \) está en años y \( t = 0 \) corresponde a 1980. En 1990, la población era de 10000. Encuentre el valor de la constante a y aproxime su respuesta a 3 decimales.
Solución Detallada.
Problema 2:
Las poblaciones P1 y P2 de dos ciudades están dadas por las fórmulas
\[ P1 = 10000 e^{k t} \]
\[ P2 = 20000 e^{ 0,01 t} \]
donde \( k \) es una constante y t es el tiempo en años con t = 0 correspondiente al año 2000. Encuentre la constante k para que las dos poblaciones sean iguales en el año 2020 y aproxime su respuesta a 3 decimales.
Solución Detallada.
Problema 3:
El nivel de sonido \( D \) en decibelios se define de la siguiente manera
\[
D = 10 \log\!\left(\dfrac{I}{10^{-16}}\right)
\]
donde I es la intensidad del sonido en vatios por centímetro cuadrado. Determine el nivel en decibelios de un sonido con intensidad \(
I = 10^{-8}\ \text{vatios/cm}^2 \).
Solución Detallada.
Problema 4:
Dos sonidos de intensidades \(I_1\) y \( I_2 \) tienen niveles de decibelios de 60 y 80 respectivamente. Utilice la fórmula del nivel de decibelios dada en el problema 3 para determinar la relación de las intensidades \( \dfrac{ I_2 }{ I_1} \)?
Solución Detallada.
Problema 5:
La propagación de un virus a través de una ciudad se modela mediante la función
\[ N = \dfrac{15000}{1 + 100 e^{-0,5t}} \]
donde \( N \) es el número de personas infectadas por el virus después de \( t \) días. ¿Cuántos días se necesitan para que 2000 personas de esta ciudad se infecten con el virus?
(aproxime su respuesta a 3 decimales).
Solución Detallada.
Problema 6:
La cantidad de un material radiactivo se descompone según la fórmula
\[ A(t) = A_0 e^{-k t} \]
donde \( A_0 \) es la cantidad inicial, \( k \) es una constante positiva y \( t \) es el tiempo en días. Encuentre una fórmula para la vida media del material.
Solución Detallada.
Problema 7:
Una ecuación logística tiene la forma
\[ y = \dfrac{a}{1 + b e^{-kt}} \]
donde \( a \), \( b \) y \(k \) son constantes. Resuelva la ecuación anterior para \( t \).
Solución Detallada.
Problema 8:
El voltaje \( V(t) \) a través de un componente eléctrico está dado por
\[ V(t) = V_0 e^{- a t } \]
donde \( a \) es una constante positiva que depende de los valores de los componentes electrónicos incluidos en el circuito eléctrico y \( V_0 \) es el voltaje inicial.
Encuentre \( t \) para el cual \( V(t) \) es igual al \( 50\% \) de \( V_0 \).
Solución Detallada.
Problema 9:
La relación de señal en decibelios de un sistema electrónico está dada por la fórmula
\[ 10 \log\!\left(\dfrac{P_{o}}{P_{i}}\right) \]
donde P o es la potencia de salida y Pi es la potencia de entrada del sistema. Encuentre la potencia de entrada \( P_i \) si la potencia de salida es igual a 10 mw y la relación de señal en decibelios es igual a 10 decibelios.
Solución Detallada.
Problema 10:
La corriente \( i \) que fluye en un circuito RL está dada por
\[
i = \dfrac{E}{R} \left[ 1 - e^{-\dfrac{Rt}{L}} \right]
\]
donde \( E \) es el voltaje aplicado al circuito, \( R \) es la resistencia y \( L \) es la inductancia. Exprese \( i \) en términos de \( E \) y \( R \) cuando \( t = \dfrac{L}{R} \).
Solución Detallada.
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