Polinomios de Cuarto Grado

Esta página presenta varios polinomios de cuarto grado junto con preguntas y soluciones detalladas. Los temas incluyen gráficas, intersecciones con el eje X, multiplicidades y determinación de parámetros.

Preguntas

Pregunta 1

Acerca de: Polinomio de grado cuatro que toca el eje X en un punto.

Pregunta: ¿Por qué la gráfica toca (pero no cruza) el eje X en un solo punto?

Gráfica de y = x^4 — Fig.1 - Gráfica del polinomio de cuarto grado \( y = x^4 \)

Pregunta 2

Acerca de: Polinomio de grado cuatro con dos intersecciones con el eje X.

Pregunta: Si la gráfica corta el eje X en \(x = 1\), ¿cuál es la coordenada de la otra intersección con el eje X?

Gráfica de un polinomio de cuarto grado con 2 intersecciones en el eje X — Fig.2 - Gráfica del polinomio de cuarto grado \( y = x^4+0.5x-x^3-0.5 \)

Pregunta 3

Acerca de: Polinomio de grado cuatro con tres intersecciones con el eje X y un parámetro \(a\) por determinar.

Pregunta: La gráfica toca (pero no cruza) el eje X en \(x = 2\). ¿Cuáles son las coordenadas de las otras dos intersecciones con el eje X?

Gráfica de un polinomio de cuarto grado con 3 intersecciones en el eje X — Fig.3 - Gráfica del polinomio de cuarto grado \( y = x^4-2x^3-5x^2+ a x-4 \)

Pregunta 4

Acerca de: Polinomio de grado cuatro sin intersecciones con el eje X.

Pregunta: ¿Por qué la gráfica de \( y = x^4+x^3+2x^2+x+1 \) no tiene intersección con el eje X, sabiendo que \(x^2+1\) es un factor de este polinomio?

Gráfica de un polinomio de cuarto grado sin intersecciones con el eje X — Fig.4 - Gráfica del polinomio de cuarto grado \( y = x^4+x^3+2x^2+x+1 \)

Soluciones

Respuesta Pregunta 1

Polinomio: \( y = x^4 \). Resolver \( x^4 = 0 \) da un cero de multiplicidad 4. Por lo tanto, la gráfica toca el eje X en un punto y es plana en \(x = 0\), lo que indica multiplicidad 4.

Respuesta Pregunta 2

Dada una intersección con el eje X en \( x = 1 \), \( x-1 \) es un factor. El polinomio se puede escribir como: \[ y = x^4+0.5x-x^3-0.5 = (x-1)Q(x) \] Usando división de polinomios: \[ Q(x) = \frac{x^4+0.5x-x^3-0.5}{x-1} = x^3+0.5 \] El otro cero se obtiene resolviendo \( x^3 + 0.5 = 0 \): \[ x = -\sqrt[3]{0.5} \approx -0.8 \]

Respuesta Pregunta 3

La gráfica toca el eje X en \( x = 2 \). Resuelve para \(a\) en: \[ 2^4-2(2)^3-5(2)^2+ a(2)-4 = 0 \Rightarrow a = 12 \] El polinomio se convierte en: \[ y = x^4-2x^3-5x^2+12x-4 \] Dado que \( x = 2 \) tiene multiplicidad par (2) y el grado total es 4, factorizamos: \[ y = (x-2)^2 Q(x) \] Usando división de polinomios: \[ Q(x) = x^2+2x-1 \] Resuelve para los ceros restantes: \[ x^2+2x-1=0 \Rightarrow x=-1+\sqrt{2} \approx 0.41,\quad x=-1-\sqrt{2} \approx -2.41 \]

Respuesta Pregunta 4

Factorización: \[ x^4+x^3+2x^2+x+1 = (x^2+1)Q(x),\quad Q(x) = x^2+x+1 \] Resolviendo \(Q(x)=0\) se obtiene el discriminante: \[ \Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0 \] No existen soluciones reales, por lo que el polinomio no tiene ceros reales y no tiene intersecciones con el eje X.