Explora sumas que involucran funciones seno y coseno de la forma:
\[ f(x) = a\sin(kx) + b\cos(kx) \]Se puede demostrar analíticamente que esta suma se puede reescribir como una única función coseno con un desfase:
\[ a\sin(kx) + b\cos(kx) = A\cos(kx - C) \]Esta transformación es útil para analizar la amplitud, el período y el desfase en expresiones trigonométricas.
Para expresar \(a\sin(kx) + b\cos(kx)\) como \(A\cos(kx - C)\), usamos la fórmula de resta del coseno:
\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \]Haciendo \(\alpha = kx\) y \(\beta = C\), expandimos:
\[ A\cos(kx - C) = A\cos(kx)\cos(C) + A\sin(kx)\sin(C)\]Para que esto sea igual a \(a\sin(kx) + b\cos(kx)\), los coeficientes de \(\sin(kx)\) y \(\cos(kx)\) deben coincidir:
Eleva al cuadrado y suma las dos ecuaciones:
\[ \begin{aligned} [A\sin(C)]^2 + [A\cos(C)]^2 &= a^2 + b^2 \\ A^2(\sin^2(C) + \cos^2(C)) &= a^2 + b^2 \\ A^2 &= a^2 + b^2 \quad \text{(usando } \sin^2(C) + \cos^2(C) = 1\text{)} \end{aligned} \]Tomando la raíz positiva (la amplitud es positiva):
\[ \boxed{A = \sqrt{a^2 + b^2}} \]Divide la primera ecuación por la segunda (asumiendo \(b \neq 0\)):
\[ \frac{A\sin(C)}{A\cos(C)} = \frac{a}{b} \quad \Rightarrow \quad \tan(C) = \frac{a}{b} \]Por lo tanto: \[ \boxed{\tan(C) = \frac{a}{b}} \]
Dado que \(\tan(C)\) tiene período \(\pi\), el \(\arctan(a/b)\) de la calculadora da un valor entre \(-\pi/2\) y \(\pi/2\). Los signos de \(a\) y \(b\) determinan el cuadrante real:
Aquí hay tres ejemplos que demuestran la transformación paso a paso.
Reescribe \(3\sin(2x) + 4\cos(2x)\) como \(A\cos(2x - C)\).
Paso 1: Calcula la amplitud \(A\):
\[ A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \]Paso 2: Calcula el desfase \(C\):
\[ \tan(C) = \frac{3}{4} = 0.75 \quad \Rightarrow \quad C = \arctan(0.75) \approx 0.6435 \text{ radianes} \]Como \(a>0, b>0\), \(C\) está en el Cuadrante I, por lo que no se necesita ajuste.
Paso 3: Escribe el resultado:
\[ 3\sin(2x) + 4\cos(2x) = 5\cos(2x - 0.6435) \]Verificación: Expandiendo \(5\cos(2x - 0.6435)\) usando la fórmula de resta del coseno se obtiene \(4\cos(2x) + 3\sin(2x)\).
Reescribe \(\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x)\) como \(A\cos(x - C)\).
Paso 1: Calcula la amplitud \(A\):
\[ A = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 \]Paso 2: Calcula el desfase \(C\):
\[ \tan(C) = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.5774 \]La calculadora da \(C = \arctan(-1/\sqrt{3}) = -\pi/6\). Dado que \(a>0, b<0\), \(C\) está en el Cuadrante II, entonces suma \(\pi\):
\[ C = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \text{ radianes} \]Paso 3: Escribe el resultado:
\[ \sin(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 2\cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) \]Reescribe \(-2\sin(3x) + 2\cos(3x)\) como \(A\cos(3x - C)\).
Paso 1: Calcula la amplitud \(A\):
\[ A = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]Paso 2: Calcula el desfase \(C\):
\[ \tan(C) = \frac{-2}{2} = -1 \]La calculadora da \(C = \arctan(-1) = -\pi/4\). Como \(a<0, b>0\), \(C\) está en el Cuadrante IV, por lo que no se necesita ajuste.
Paso 3: Escribe el resultado:
\[ -2\sin(3x) + 2\cos(3x) = 2\sqrt{2}\cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) \]Nota: \(\cos(3x + \pi/4) = \cos(3x - (-\pi/4))\), entonces \(C = -\pi/4\).
La suma \(a\sin(kx) + b\cos(kx)\) siempre se puede reescribir como una única función coseno con amplitud y desfase:
\[ a\sin(kx) + b\cos(kx) = A\cos(kx - C) \]donde:
\[ A = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \tan(C) = \frac{a}{b} \]El desfase \(C\) debe elegirse en el cuadrante correcto según los signos de \(a\) y \(b\). Esta transformación simplifica el análisis de la amplitud, el período y el desfase de la función.