Producto Punto de Dos Vectores - Calculadora
Una calculadora en línea para calcular el producto punto de dos vectores, también llamado producto escalar.
Uso de la Calculadora de Producto Punto
1 - Ingrese las componentes de los dos vectores como números reales en forma decimal (por ejemplo: 2, 1,5, ...) y presione "Calcular el producto punto". La respuesta es un escalar.
La calculadora no acepta caracteres distintos a números.
Definición del Producto Punto de Dos Vectores
Sean \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) dos vectores 3D dados en forma de componentes por
\[
\mathbf{u} = \langle a, b, c \rangle \quad \text{y} \quad \mathbf{v} = \langle d, e, f \rangle
\]
El producto punto de los dos vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) anterior está dado por
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \langle a, b, c \rangle \cdot \langle d, e, f \rangle = a d + b e + c f
\]
y es una cantidad escalar.
Ejemplo 1
Sean
\[
\mathbf{u} = \langle -2, 3, 2 \rangle \quad \text{y} \quad \mathbf{v} = \langle 0, -1, 6 \rangle
\]
El producto punto de los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) es
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \langle -2, 3, 2 \rangle \cdot \langle 0, -1, 6 \rangle = (-2)(0) + (3)(-1) + (2)(6) = 9
\]
Aplicaciones del Producto Punto
El producto punto tiene muchas aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería, ... A continuación daremos algunos ejemplos.
Ejemplo 2
El producto punto se puede usar para determinar si dos vectores son ortogonales (es decir, son perpendiculares o sus direcciones forman un ángulo de 90 grados).
La definición geométrica del producto punto es
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \, \|\mathbf{v}\| \, \cos \theta
\]
donde \(\theta\) es el ángulo entre los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\).
Por lo tanto, el producto punto de dos vectores ortogonales es igual a cero, ya que \(\cos(90^\circ) = 0\).
Como ejemplo, sean
\[
\mathbf{u} = \langle 3, 3, 3 \rangle \quad \text{y} \quad
\mathbf{v} = \langle -2, 2, 0 \rangle
\]
El producto punto de los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) es
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \langle 3, 3, 3 \rangle \cdot \langle -2, 2, 0 \rangle
= (3)(-2) + (3)(2) + (3)(0) = 0
\]
Conclusión: los vectores
\(\mathbf{u} = \langle 3, 3, 3 \rangle\) y
\(\mathbf{v} = \langle -2, 2, 0 \rangle\) son ortogonales.
Vea la representación gráfica en la figura siguiente.
Ejemplo 3
El producto punto se puede usar para encontrar el ángulo \(\theta\) entre dos vectores dadas sus componentes en el espacio 2D o 3D.
\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \, \|\mathbf{v}\|}
\]
Como ejemplo, sean
\[
\mathbf{u} = \langle 4, 3, 0 \rangle \quad \text{y} \quad
\mathbf{v} = \langle 0, 8, 6 \rangle
\]
Calcule el producto punto usando las componentes:
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (4)(0) + (3)(8) + (0)(6) = 24
\]
Calcule las magnitudes de \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\):
\[
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = 5
\]
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{0^2 + 8^2 + 6^2} = 10
\]
Calcule el coseno del ángulo:
\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \, \|\mathbf{v}\|}
= \frac{24}{5 \cdot 10}
\]
Finalmente, el ángulo entre los vectores es
\[
\theta = \arccos \left( \frac{24}{50} \right) \approx 61,3^\circ
\]
Ejemplo 4
En física, el trabajo \(W\) realizado por una fuerza constante \(\mathbf{F}\) que actúa sobre un objeto a lo largo de una dirección constante para un desplazamiento \(\mathbf{d}\) está dado por
\[
W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}
\]
Más Referencias y Enlaces
Producto Punto de Dos Vectores y Aplicaciones.
Vectores 3D.
Vectores.