Producto escalar de dos vectores - Calculadora

Una calculadora en línea para calcular el producto escalar de dos vectores, también llamado producto escalar.

Uso de la calculadora de producto escalar

1 - Ingrese los componentes de los dos vectores como números reales en forma decimal como 2, 1,5, ... y presione "Calcular el producto escalar". La respuesta es un escalar.
La calculadora no acepta caracteres que no sean números.

u = < , , >
v = < , , >
u ⋅ v =

Definición del producto escalar de dos vectores

Sean u y v dos vectores 3D dados en forma de componentes por
u = < a , b, c > and v = < d , e , f >
El producto escalar de los dos vectores u y v anteriores está dado por
u.v = < a, b , c > ⋅ < d , e , f > = a×d + b×e +c×f
y es una cantidad escalar.
Ejemplo 1
Sea u = < -2, 3, 2> y v = < 0 , -1 , 6 >
El producto escalar del vector u y v viene dado por
u ⋅ v = < -2 , 3, 2 > ⋅ < 0 , -1 , 6 > = (-2)×(0) + 3×(-1) + 2×6 = 9

Aplicaciones del producto escalar

El producto escalar tiene muchas aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería,... A continuación daremos algunos ejemplos.
Ejemplo 2
El producto escalar se puede utilizar para averiguar si dos vectores son ortogonales (es decir, son perpendiculares o sus direcciones forman 90 grados).
La definición geométrica del producto escalar es
u ⋅ v = || u || || v || cos (θ)
donde θ es el ángulo entre los vectores u y v.
Por lo tanto, el producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a cero ya que cos(90°) = 0.
Como ejemplo, sea u = < 3, 3, 3> y v = < - 2 , 2 , 0 >
El producto escalar del vector u y v viene dado por
u.v = < 3, 3, 1> ⋅ < - 2, 2, 0 > = 3×(-2) + 3×(2) + (3)×(0) = 0
Conclusión: vector u < 3, 3, 3> y v < - 2, 2, 0 > son ortogonales; vea el gráfico vectorial en la siguiente figura.
Vectores tridimensionales ortogonales

Ejemplo 3
El producto escalar se puede utilizar para encontrar el ángulo θ; entre dos vectores dados por sus componentes en espacios de 2 o 3 dimensiones.
cos(θ) = u ⋅ v / || tu || || v ||
Como ejemplo, sea u = < 4, 3, 0> y v = < 0 , 8 , 6 >
Calcula el producto escalar usando los componentes.
u ⋅ v = (4)(0) + (3)(8) + (0)(6) = 24
Calcular las magnitudes || tú || y || v ||
|| u || = √(4 2 + 3 2 + 0 2) = 5
|| v || = √(0 2 + 8 2 + 6 2) = 10
cos(θ) = u ⋅ v / || u || || v || = 24 / (5×10)
θ = arccos(24/50) = 61.3°
Ejemplo 4
En física, el trabajo W realizado por una fuerza constante F que actúa sobre un objeto en una dirección constante durante un desplazamiento d está dado por
W = F ⋅ d

Más referencias y enlaces

Producto escalar de dos vectores y aplicaciones.
Vectores 3D.
vectores.