Un tutorial sobre cómo resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden diferenciales con una ecuación auxiliar que tiene 2 soluciones reales distintas. Se incluyen ejemplos con soluciones detalladas.
Solución al Ejemplo 1
La ecuación auxiliar está dada por
\[ k^2 + 2 k - 3 = 0 \]
Factorizar la ecuación cuadrática anterior
\[ (k + 3)(k - 1) = 0 \]
Resolver para \( k \)
\[ k_1 = -3 \; \text{y} \; k_2 = 1 \]
La solución general de la ecuación diferencial dada es
\[ y = A e^{k_1 x} + B e^{k_2 x} = A e^{-3 x} + B e^x \]
donde \( A \) y \( B \) son constantes.
Solución al Ejemplo 2
La ecuación auxiliar está dada por
\[ k^2 + 3 k - 10 = 0 \]
Resolver la ecuación cuadrática anterior para obtener
\( k_1 = 2 \) y \( k_2 = -5 \)
La solución general de la ecuación diferencial dada es
\[ y = A e^{2 x} + B e^{- 5 x} \]
donde \( A \) y \( B \) son constantes que pueden evaluarse utilizando las condiciones iniciales. \( y(0) = 1 \) da
\[ y(0) = A e^0 + B e^0 = A + B = 1 \]
\( y'(0) = 0 \) da
\[ y'(0) = 2 A e^0 - 5 B e^0 = 2 A - 5 B = 0 \]
Resolver el sistema de ecuaciones \( A + B = 1 \) y \( 2 A - 5 B = 0 \) para obtener
\( A = \frac{5}{7} \) y \( B = \frac{2}{7} \)
La solución a la ecuación dada puede escribirse como
\[ y = \left(\frac{5}{7}\right) e^{2 x} + \left(\frac{2}{7}\right) e^{- 5 x} \]
