Integrales Involucrando sin x , cos x y Funciones Exponenciales

Tutorial para encontrar integrales que involucran el producto de   sin x   o   cos x   con funciones exponenciales. Los ejercicios con respuestas se encuentran al final de la página.
Todas las integrales incluidas en los ejemplos a continuación se evalúan usando Integración por Partes dada por:
Regla de Integración por Partes
La integración por partes ayuda en la evaluación de la integral del producto de funciones de la forma U dV/dx .

Ejemplos

A continuación se presentan los ejemplos, donde C es la constante de integración.

Ejemplo 1

Evaluar la integral \[ \int \sin(x) e^x \, dx \] Solución al Ejemplo 1:
Sea \( u = \sin(x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \) lo que da \( u' = \cos(x) \) y \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \).
Usamos la integración por partes Regla de Integración por Partes de la siguiente manera
integral of sin(x) e^x by parts
Aplicamos la integración por partes al término \( \displaystyle \int \cos(x)e^x \, dx \) en la expresión anterior, por lo tanto
integral of sin(x) e^x by parts a second time
Simplificamos lo anterior y reescribimos como

Simplificar Integral Paso 1
Note que el término en el lado derecho es la integral que estamos tratando de evaluar, por lo tanto, lo anterior puede escribirse como sigue
Simplificar Integral Paso 2
Por lo tanto, la integral está dada por
Simplificar Integral Paso 3


Ejemplo 2

Evaluar la integral

\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx \] Solución al Ejemplo 2:
Sustitución: Sea \( u = \cos(2x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \) lo que da \( u' = - 2 \sin(2x) \) y \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \) :
Aplicamos la integración por partes: Regla de Integración por Partes
\( \displaystyle \int \cos(2x) e^x \, dx = \cos(2x) \, e^x - \int -2 \sin(2x) e^x \, dx \)
= \( \cos(2x) \, e^x + 2 \int \sin(2x) \, e^x \, dx \)
Aplicamos integración por partes al término de la derecha
= \( \cos(2x) \, e^x + 2 ( \sin(2x)e^x - 2 \displaystyle \int \cos(2x)e^x \, dx ) \)
= \( \cos(2x) \, e^x + 2 \sin(2x) \, e^x - 4 \displaystyle \int \cos(2x)e^x \, dx \)
Note que el término en la derecha está relacionado con la integral que estamos tratando de evaluar, podemos escribir eso
\( 5 \displaystyle \int \cos(2x)e^x \, dx = \cos(2x) \, e^x + 2 \sin(2x) \, e^x \)
La integral dada se evalúa como \[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx = \dfrac{1}{5} e^x ( \cos(2x) + 2 \sin(2x) ) + C \]


Ejemplo 3

Evaluar la integral \[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx \] Solución al Ejemplo 3:
Sustitución: Sea \( u = \sin(3x + 2) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^{3x} \) lo que da \( u' = 3 \cos(3x + 2) \) y \( v = \displaystyle \int e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} e^{3x} \).
Aplicamos la integración por partes
\( \displaystyle \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx = \sin(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} - \int \cos(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} \, dx \)
Aplicamos la integración por partes una vez más al término \( \int \cos(3x + 2) e^{3x} \, dx \)
\( \displaystyle \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - ( \cos(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} + \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx ) \)
Note que el término en la derecha es la integral a evaluar, por lo tanto, lo anterior puede escribirse como
\( 2 \displaystyle \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - ( \cos(3x + 2)\dfrac{1}{3} e^{3x} \)
Dividimos todos los términos por 2 y simplificamos \[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{6} e^{3x} ( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) ) + C \]


Ejemplo 4

Evaluar la integral \[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx \]
Solución al Ejemplo 4:
Sustitución: Sea \( u = \cos(4x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^{2x + 5} \) y aplicamos la integración por partes dos veces
\( \displaystyle \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \cos(4x) \dfrac{1}{2} e^{2x + 5} + 2 \int \sin(4x) \, e^{2x + 5} \, dx \)
= \( \displaystyle \cos(4x) \dfrac{1}{2} e^{2x + 5} + 2 \{ \sin(4x) \dfrac{1}{2}e^{2x + 5} - 2 \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx \} \)
El término en la derecha es la integral a evaluar, por lo tanto \[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \dfrac{1}{10} e^{2x + 5} ( \cos(4x) + 2 \sin(4x) ) + C \]


Ejercicios

Evaluar las siguientes integrales.
1. \( \displaystyle\int \cos(x) \, e^x \, dx \)
2. \( \displaystyle \int \sin(2x) \, e^{3x} \, dx \)
3. \( \displaystyle \int \cos(-3x + 5) \, e^{5x} \, dx \)
4. \( \displaystyle \int \sin(-4x + 3) \, e^{-2x + 1} \, dx \)


Respuestas a los Ejercicios Anteriores

1. \( \dfrac{1}{2} e^x ( \cos(x) + \sin(x) ) + C \)
2. \( \dfrac{1}{13} e^{3x} ( 3 \sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C \)
3. \( \dfrac{1}{34} e^{5x} ( 5 \cos(-3x + 5) - 3 \sin(-3x + 5) ) + C \)
4. \( \dfrac{1}{10} e^{-2x + 1} ( 2 \cos(-4x + 3) - \sin(-4x + 3) ) + C \)


Más Referencias y Enlaces