Integrales Involucrando sin x , cos x y Funciones Exponenciales
Tutorial para encontrar integrales que involucran el producto de sin x o cos x con funciones exponenciales. Los ejercicios con respuestas se encuentran al final de la página.
Todas las integrales incluidas en los ejemplos a continuación se evalúan usando Integración por Partes dada por:
La integración por partes ayuda en la evaluación de la integral del producto de funciones de la forma U dV/dx .
Ejemplos
A continuación se presentan los ejemplos, donde C es la constante de integración.
Ejemplo 1
Evaluar la integral
\[ \int \sin(x) e^x \, dx \]
Solución al Ejemplo 1:
Sea \( u = \sin(x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \) lo que da \( u' = \cos(x) \) y \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \).
Usamos la integración por partes de la siguiente manera
Aplicamos la integración por partes al término \( \displaystyle \int \cos(x)e^x \, dx \) en la expresión anterior, por lo tanto
Simplificamos lo anterior y reescribimos como
Note que el término en el lado derecho es la integral que estamos tratando de evaluar, por lo tanto, lo anterior puede escribirse como sigue
Por lo tanto, la integral está dada por
Ejemplo 2
Evaluar la integral
\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx \]
Solución al Ejemplo 2:
Sustitución: Sea \( u = \cos(2x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \) lo que da \( u' = - 2 \sin(2x) \) y \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \) :
Aplicamos la integración por partes:
\( \displaystyle \int \cos(2x) e^x
\, dx = \cos(2x) \, e^x - \int -2 \sin(2x) e^x \, dx \)
= \( \cos(2x) \, e^x + 2 \int \sin(2x) \, e^x \, dx \)
Aplicamos integración por partes al término de la derecha
= \( \cos(2x) \, e^x + 2 ( \sin(2x)e^x - 2 \displaystyle \int \cos(2x)e^x \, dx ) \)
= \( \cos(2x) \, e^x + 2 \sin(2x) \, e^x - 4 \displaystyle \int \cos(2x)e^x \, dx \)
Note que el término en la derecha está relacionado con la integral que estamos tratando de evaluar, podemos escribir eso
\( 5 \displaystyle \int \cos(2x)e^x \, dx = \cos(2x) \, e^x + 2 \sin(2x) \, e^x \)
La integral dada se evalúa como
\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx = \dfrac{1}{5} e^x ( \cos(2x) + 2 \sin(2x) ) + C \]
Ejemplo 3
Evaluar la integral
\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx \]
Solución al Ejemplo 3:
Sustitución: Sea \( u = \sin(3x + 2) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^{3x} \) lo que da \( u' = 3 \cos(3x + 2) \) y \( v = \displaystyle \int e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} e^{3x} \).
Aplicamos la integración por partes
\( \displaystyle \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx = \sin(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} - \int \cos(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} \, dx \)
Aplicamos la integración por partes una vez más al término \( \int \cos(3x + 2) e^{3x} \, dx \)
\( \displaystyle \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - ( \cos(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} + \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx ) \)
Note que el término en la derecha es la integral a evaluar, por lo tanto, lo anterior puede escribirse como
\( 2 \displaystyle \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - ( \cos(3x + 2)\dfrac{1}{3} e^{3x} \)
Dividimos todos los términos por 2 y simplificamos
\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{6} e^{3x} ( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) ) + C \]
Ejemplo 4
Evaluar la integral
\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx \]
Solución al Ejemplo 4:
Sustitución: Sea \( u = \cos(4x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^{2x + 5} \) y aplicamos la integración por partes dos veces
\( \displaystyle \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \cos(4x) \dfrac{1}{2} e^{2x + 5} + 2 \int \sin(4x) \, e^{2x + 5} \, dx \)
= \( \displaystyle \cos(4x) \dfrac{1}{2} e^{2x + 5} + 2 \{ \sin(4x) \dfrac{1}{2}e^{2x + 5} - 2 \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx \} \)
El término en la derecha es la integral a evaluar, por lo tanto
\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \dfrac{1}{10} e^{2x + 5} ( \cos(4x) + 2 \sin(4x) ) + C \]