Integrales que involucran sin x , cos x y funciones exponenciales
Tutorial para encontrar integrales que involucran el producto de sin x o cos x con funciones exponenciales. Al final de la página se incluyen ejercicios con respuestas.
Todas las integrales incluidas en los ejemplos a continuación se evalúan utilizando el Método de Integración por Partes dado por:
\[
\int U \dfrac{dV}{dx} \, dx = UV - \int \dfrac{dU}{dx} V \, dx
\]
La integración por partes ayuda a evaluar la integral del producto de funciones de la forma U dV/dx .
Ejemplos
En lo que sigue, C es la constante de integración.
Ejemplo 1
Evalúa la integral
\[ \int \sin(x) e^x \, dx \]
Solución del Ejemplo 1:
Sean \( u = \sin(x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), lo que da \( u' = \cos(x) \) y \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \).
Utiliza la integración por partes
\[
\int U \dfrac{dV}{dx} \, dx = UV - \int \dfrac{dU}{dx} V \, dx
\]
de la siguiente manera:
\[
\int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \int \cos(x)e^x \, dx
\]
Aplicamos la integración por partes (una vez más) al término \( \displaystyle \int \cos(x)e^x \, dx \) en la expresión anterior, por lo tanto:
\[
\int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x - \int \sin(x)e^x \, dx
\]
Observa que el término de la derecha es la integral que estamos tratando de evaluar, por lo que lo anterior se puede escribir como:
\[
2 \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x
\]
Por lo tanto, la integral está dada por:
\[
\int \sin(x)e^x \, dx = \dfrac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C
\]
Ejemplo 2
Evalúa la integral
\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx \]
Solución del Ejemplo 2:
Sustitución: Sean \( u = \cos(2x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), lo que da \( u' = - 2 \sin(2x) \) y \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \):
Aplica la integración por partes:
\[
\int U \dfrac{dV}{dx} \, dx = UV - \int \dfrac{dU}{dx} V \, dx
\]
de la siguiente manera:
\[
\begin{align*}
\int \cos(2x)e^x \, dx
&= \cos(2x)e^x - \int e^x \, \dfrac{d}{dx}[\cos(2x)] \, dx \\[6pt]
&= \cos(2x)e^x - \int e^x (-2\sin(2x)) \, dx \\[6pt]
&= \cos(2x)e^x + 2 \int e^x \sin(2x) \, dx
\end{align*}
\]
Aplica integración por partes al término de la derecha:
\[
\begin{align*}
\int \cos(2x)e^x \, dx
&= \cos(2x)e^x + 2 \left( \sin(2x)e^x - 2 \int \cos(2x)e^x \, dx \right) \\[6pt]
&= \cos(2x)e^x + 2\sin(2x)e^x - 4 \int \cos(2x)e^x \, dx
\end{align*}
\]
Observa que el término de la derecha \( \int \cos(2x)e^x \, dx \) está relacionado con la integral que estamos tratando de evaluar. Agrupamos y escribimos:
\[ 5 \int \cos(2x)e^x \, dx = \cos(2x) \, e^x + 2 \sin(2x) \, e^x \]
La integral dada se evalúa como:
\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx = \dfrac{1}{5} e^x ( \cos(2x) + 2 \sin(2x) ) + C \]
Ejemplo 3
Evalúa la integral
\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx \]
Solución del Ejemplo 3:
Sustitución: Sean \( u = \sin(3x + 2) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^{3x} \), lo que da \( u' = 3 \cos(3x + 2) \) y \( v = \displaystyle \int e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} e^{3x} \).
Aplica la integración por partes :
\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx = \sin(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} - \int \cos(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} \, dx \]
Aplica la integración por partes una vez más al término \( \int \cos(3x + 2) e^{3x} \, dx \):
\[ \displaystyle \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - \left( \cos(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} + \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx \right) \]
Observa que el término de la derecha es la integral a evaluar, por lo que lo anterior se puede escribir como:
\[ 2 \displaystyle \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - \cos(3x + 2)\dfrac{1}{3} e^{3x} \]
Divide todos los términos por 2 y simplifica:
\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{6} e^{3x} ( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) ) + C \]
Ejemplo 4
Evalúa la integral
\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx \]
Solución del Ejemplo 4:
Sustitución: Sean \( u = \cos(4x) \) y \( \dfrac{dv}{dx} = e^{2x + 5} \) y aplica la integración por partes dos veces:
\[
\begin{align*}
\int \cos(4x)e^{2x + 5} \, dx
&= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \int e^{2x + 5} \sin(4x) \, dx \\[6pt]
&= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x)
+ 2 \left( \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \sin(4x) - 2 \int e^{2x + 5} \cos(4x) \, dx \right)
\end{align*}
\]
El término de la derecha \( \int e^{2x + 5} \cos(4x) \, dx \) es la integral a evaluar, por lo tanto:
\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \dfrac{1}{10} e^{2x + 5} ( \cos(4x) + 2 \sin(4x) ) + C \]
Ejercicios
Evalúa las siguientes integrales.
- \( \quad \displaystyle\int \cos(x) \, e^x \, dx \)
- \( \quad \displaystyle \int \sin(2x) \, e^{3x} \, dx \)
- \( \quad \displaystyle \int \cos(-3x + 5) \, e^{5x} \, dx \)
- \( \quad \displaystyle \int \sin(-4x + 3) \, e^{-2x + 1} \, dx \)
Respuestas a los Ejercicios Anteriores
- \( \quad \dfrac{1}{2} e^x ( \cos(x) + \sin(x) ) + C \)
- \( \quad \dfrac{1}{13} e^{3x} ( 3 \sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C \)
- \( \quad \dfrac{1}{34} e^{5x} ( 5 \cos(-3x + 5) - 3 \sin(-3x + 5) ) + C \)
- \( \quad \dfrac{1}{10} e^{-2x + 1} ( 2 \cos(-4x + 3) - \sin(-4x + 3) ) + C \)
Más Referencias y Enlaces