Aquí se presentan los pasos para encontrar la integral de una función logarítmica en cualquier base.
Sea \( y = \log_a x \).
Utiliza la fórmula de cambio de base para reescribir \( y = \log_a x \) usando el logaritmo natural \( \ln \) como:
\[ y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \]
Ahora evaluamos la integral:
\[ \int \log_a x \; dx = \int \left(\dfrac{ \ln x }{\ln a}\right)\; dx \]
\( \ln a \) es una constante y, por lo tanto:
\[ \int \log_a x \; dx = \dfrac{ 1}{\ln a} \int \ln x \; dx \qquad (I) \]
La integral de ln x está dada por:
\[ \int \ln x \; dx = x \ln x - x + c \]
Sustituyendo en \( (I) \) obtenemos:
\[ \displaystyle \int \log_a x \; dx = \dfrac{ 1}{\ln a} (x \ln x - x) + c \]