Se presentan los pasos para encontrar la integral de una función logarítmica de cualquier base.
Sea \( y = \log_a x \)
Usa la fórmula de cambio de base para reescribir \( y = \log_a x \) usando el logaritmo natural \( \ln \) como
\( y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \)
Ahora evaluamos la integral
\( \displaystyle \int \log_a x \; dx = \int \left(\dfrac{ \ln x }{\ln a}\right)\; dx \)
\( \ln a \) es una constante y por lo tanto
\( \displaystyle \int \log_a x \; dx = \dfrac{ 1}{\ln a} \int \ln x \; dx \qquad (I) \)
La integral de ln x está dada por
\( \displaystyle \int \ln x \; dx = x \ln x - x + c \)
Sustituye en \( (I) \) para obtener
\[ \displaystyle \int \log_a x \; dx = \dfrac{ 1}{\ln a} (x \ln x - x) + c \]
