Volumen de un Casquete Esférico

El volumen de un casquete esférico se encuentra utilizando integrales y el método de discos utilizado en "volumen de un sólido de revolución".
Un casquete esférico se define como una porción de la esfera cortada por un plano.

Ahora consideramos un casquete esférico de una esfera de radio \( R \) y altura \( h \). Un casquete esférico puede ser generado al hacer girar la curva \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \), que es la mitad de un círculo, alrededor del eje \( x \) con \( x \) en el rango \( R-h \le x \le R \).

Considera el disco pequeño (en líneas discontinuas) con un ancho \( dx \) y un radio igual a \( y \). El volumen del disco está dado por \( \pi y^2 dx \) y por lo tanto la integral sobre \( x \) en el rango \( [R-h, R ] \) da el volumen del casquete.
\( \quad \displaystyle \text{Volumen} = \int_{R-h}^{R} \pi y^2 dx \)
Dado que \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \), el volumen está dado por
\( \quad \displaystyle \text{Volumen} = \pi \int_{R-h}^{R} (R^2 - x^2) dx \)
Evalúa la integral
\( \quad \displaystyle \text{Volumen} = \pi \left[R^2 x - \dfrac{1}{3}x^3\right]_{R-h}^{R} \)
Evalúa la expresión anterior a la derecha
\( \quad \displaystyle \text{Volumen} = \pi \left\{ \left(R^3 - \dfrac{1}{3}R^3\right) - \left(R^2 (R-h) - \dfrac{1}{3}(R-h)^3\right) \right\} \)
Simplifica lo anterior para obtener el volumen \[ \Large \displaystyle \color{red} {\text{Volumen} = \dfrac{\pi}{3}( 3 Rh^2-h^3) }\]

Más Enlaces y Referencias