Se presentan los pasos para encontrar la derivada de una función logarítmica a cualquier base.
Sea \( y = \log_a x \)
Usa la fórmula de cambio de base para reescribir \( y = \log_a x \) usando el logaritmo natural \( \ln \) como
\( y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \)
Ahora evaluamos la derivada
\( \dfrac {d}{dx} \left(\log_a x\right) = \dfrac {d}{dx} \left(\dfrac{ \ln x }{\ln a}\right) \)
Notando que \( \ln a \) es una constante y \( \dfrac{d}{dx} (\ln x) = \dfrac{1}{x} \), obtenemos
\[ \dfrac {d}{dx} (\log_a x) = \dfrac{1}{ x \ln a} \qquad (I) \]
Encuentra las derivadas de
a) \( \quad y = \log_3 (x) \) b) \( \quad y = \log_5 (x^2 + 2x -1) \)
Solución
a) Usando la fórmula en \( (I) \) obtenemos
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \; \ln 3} \)
b) La función en la parte b) es una función compuesta de la forma \( \quad y = \log_5 u(x) \) con \( u(x) = x^2 + 2x -1 \)
Usa la regla de la cadena de derivadas , escribimos
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \qquad (II) \)
Usando la fórmula en \( (I) \) anteriormente
\( \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u \; \ln 5} \)
Evalúa \( \dfrac{du}{dx} \)
\( \dfrac{du}{dx} = 2 x + 2 \)
Sustituye \( \dfrac{dy}{du} \) y \( \dfrac{du}{dx} \) en \( (II) \) y escribe
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{u \; \ln 5} \; {2x+2} = \dfrac{2x+2}{ (x^2 + 2x -1) \; \ln 5} \)
Muestra que la función \( \quad y = \log_{\frac{1}{2}} (x) \) es decreciente en su dominio.
Solución
Encuentra la derivada usando la fórmula \( (I) \) anteriormente
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \; \ln { \left(\frac{1}{2} \right) }} \)
Nota que
\( \ln (\frac{1}{2}) = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = - \ln 2 \)
Por lo tanto
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ - x \; \ln 2} \)
El dominio de la función dada \( \quad y = \log_{\frac{1}{2}} (x) \) es el conjunto de todos los valores de \( x \) tales que \( x \gt 0 \)
y por lo tanto la derivada \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ - x \; \ln 2} \) es negativa en el dominio de la función dada. Dado que la derivada es negativa en el dominio de la función, la función dada \( \quad y = \log_{\frac{1}{2}} (x) \) es decreciente en su dominio.
