Aquí se presentan los pasos para encontrar la derivada de una función logarítmica en cualquier base.
Sea \( y = \log_a x \)
Utiliza la fórmula de cambio de base para reescribir \( y = \log_a x \) usando el logaritmo natural \( \ln \) como:
\( y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \)
Ahora evaluamos la derivada:
\( \dfrac {d}{dx} \left(\log_a x\right) = \dfrac {d}{dx} \left(\dfrac{ \ln x }{\ln a}\right) \)
Observando que \( \ln a \) es una constante y que \( \dfrac{d}{dx} (\ln x) = \dfrac{1}{x} \), obtenemos:
\[ \dfrac {d}{dx} (\log_a x) = \dfrac{1}{ x \ln a} \qquad (I) \]
Encuentra las derivadas de:
a) \( \quad y = \log_3 (x) \) b) \( \quad y = \log_5 (x^2 + 2x -1) \)
Solución:
a) Usando la fórmula en \( (I) \) obtenemos:
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \; \ln 3} \)
b) La función en el apartado b) es una función compuesta de la forma \( \quad y = \log_5 u(x) \) con \( u(x) = x^2 + 2x -1 \).
Utiliza la regla de la cadena de diferenciación y escribimos:
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \qquad (II) \)
Usando la fórmula en \( (I) \) anterior:
\( \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u \; \ln 5} \)
Evalúa \( \dfrac{du}{dx} \):
\( \dfrac{du}{dx} = 2 x + 2 \)
Sustituye \( \dfrac{dy}{du} \) y \( \dfrac{du}{dx} \) en \( (II) \) y obtén:
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{u \; \ln 5} \; (2x+2) = \dfrac{2x+2}{ (x^2 + 2x -1) \; \ln 5} \)
Demuestra que la función \( \quad y = \log_{\frac{1}{2}} (x) \) es decreciente en su dominio.
Solución:
Encuentra la derivada usando la fórmula \( (I) \) anterior:
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \; \ln { \left(\frac{1}{2} \right) }} \)
Observa que:
\( \ln (\frac{1}{2}) = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = - \ln 2 \)
Por lo tanto:
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ - x \; \ln 2} \)
El dominio de la función dada \( \quad y = \log_{\frac{1}{2}} (x) \) es el conjunto de todos los valores de \( x \) tales que \( x \gt 0 \),
y por consiguiente la derivada \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ - x \; \ln 2} \) es negativa en el dominio de la función. Dado que la derivada es negativa en todo el dominio de la función, la función dada \( \quad y = \log_{\frac{1}{2}} (x) \) es decreciente en su dominio.