Derivada de tan x

La primera derivada de \( \tan (x)\) se calcula usando la derivada de \( \sin x \) y \( \cos x \) y la regla del cociente de derivadas.

Cálculo de la Derivada de tan x

Una identidad trigonométrica que relaciona \( \tan x \), \( \sin x \) y \( \cos x \) se da por \[ \tan x = \dfrac { \sin x }{ \cos x } \] Una manera de encontrar la derivada de \( \tan x \) es usar la regla del cociente de diferenciación; por lo tanto
\( \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \tan x = \dfrac {d}{dx} (\dfrac{\sin x }{\cos x}) = \dfrac{{ (\dfrac {d}{dx}\sin x) }{ \cos x } - \sin x (\dfrac {d}{dx} \cos x) }{\cos^2 x}} \)

Usa las fórmulas para la derivada de las funciones trigonométricas \( \sin x \) y \( \cos x \) dadas por \( \dfrac {d}{dx}\sin x = \cos x \) y \( \dfrac {d}{dx}\cos x = - \sin x \) y sustituye para obtener

\( \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \tan x = (\dfrac{{ \cos x \cos x } - \sin x (-\sin x) }{\cos^2 x}} \)

Simplifica

\( \displaystyle {= \dfrac{ \cos^2 x + \sin^2 x } {\cos^2 x} = \dfrac{ 1 }{\cos^2 x} = \sec^2 x }\)
conclusión
\[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \tan x = \sec^2 x} \]

Gráfica de tan x y su Derivada

Se muestran las gráficas de \( \tan(x) \) y su derivada a continuación.

Gráfica de tan x y su derivada

Derivada de la Función Compuesta tan (u(x))

Ahora tenemos una función compuesta que es una función (tan) de otra función (u). Usa la regla de la cadena de diferenciación para escribir

\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} \tan (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \tan u) (\dfrac{d}{dx} u ) \)

Simplifica

\( = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u \)

Conclusión

\[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \tan (u(x)) = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u \]

Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones compuestas tan

  1. \( f(x) = \tan (2x -1) \)
  2. \( g(x) = \tan (\cos(x)) \)
  3. \( h(x) = \tan (\dfrac{x-1}{x+2}) \)

Solución al Ejemplo 1


  1. Sea \( u(x) = 2x - 1 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (2x - 1) = 2 \) y aplica la regla

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = (\sec^2 u \dfrac{d}{dx} u = \sec^2 (2x-1) \times 2 = 2 \sec^2 (2x-1) ) \)


  2. Sea \( u(x) = \cos x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d }{dx} \cos x = - \sin x \) y aplica la regla

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = (\sec^2 u \dfrac{d}{dx} u = \sec^2 (\cos x) \times (- \sin x) = - \sin x \sec^2 (\cos x) \)


  3. Sea \( u(x) = \dfrac{x-1}{x+2} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{3}{(x+2)^2} \) y aplica la regla obtenida anteriormente

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u = \sec^2 (\dfrac{x-1}{x+2}) \times \dfrac{3}{(x+2)^2} = \dfrac {3 \sec^2 (\dfrac{x-1}{x+2})}{(x+2)^2} \)


Más Referencias y enlaces

Reglas de Diferenciación de Funciones en Cálculo.
Identidades y Fórmulas Trigonométricas.
Derivadas de las Funciones Trigonométricas.
Regla de la Cadena de Diferenciación en Cálculo.