Una identidad trigonométrica que relaciona \( \tan x \), \( \sin x \) y \( \cos x \) se da por
\[ \tan x = \dfrac { \sin x }{ \cos x } \]
Una manera de encontrar la derivada de \( \tan x \) es usar la regla del cociente de diferenciación; por lo tanto
\( \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \tan x = \dfrac {d}{dx} (\dfrac{\sin x }{\cos x}) = \dfrac{{ (\dfrac {d}{dx}\sin x) }{ \cos x } - \sin x (\dfrac {d}{dx} \cos x) }{\cos^2 x}} \)
Usa las fórmulas para la derivada de las funciones trigonométricas \( \sin x \) y \( \cos x \) dadas por \( \dfrac {d}{dx}\sin x = \cos x \) y \( \dfrac {d}{dx}\cos x = - \sin x \) y sustituye para obtener
\( \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \tan x = (\dfrac{{ \cos x \cos x } - \sin x (-\sin x) }{\cos^2 x}} \)
Simplifica
\( \displaystyle {= \dfrac{ \cos^2 x + \sin^2 x } {\cos^2 x} = \dfrac{ 1 }{\cos^2 x} = \sec^2 x }\)
conclusión
\[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \tan x = \sec^2 x} \]
Gráfica de tan x y su Derivada
Se muestran las gráficas de \( \tan(x) \) y su derivada a continuación.