Prueba de la Derivada de csc x

La prueba del cálculo de la derivada de \( \csc (x)\) se presenta utilizando la regla del cociente de derivadas.

Prueba de la Derivada de csc x

Una identidad trigonométrica relacionando \( \csc x \) y \( \sin x \) es dada por \[ \csc x = \dfrac { 1 }{ \sin x } \] Usamos la regla del cociente para la diferenciación para encontrar la derivada de \( \csc x \); por lo tanto
\( \displaystyle { \dfrac {d}{dx} \csc x = \dfrac {d}{dx} (\dfrac{ 1 }{\sin x}) = \dfrac { (\dfrac {d}{dx}1) { \sin x } - 1 (\dfrac {d}{dx} \sin x) } {\sin^2 x} } \)

La derivada de 1 es igual a cero. Usamos las fórmulas para la derivada de las funciones trigonométricas \( \sin x \) dada por \( \dfrac {d}{dx}\sin x = \cos x \) y sustituimos para obtener

\( \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \csc x = \dfrac{ (0 - (\cos x) )}{\sin^2 x}} \)

Simplificamos

\( \displaystyle {= \dfrac{ - \cos x } {\sin^2 x} = - \dfrac{ \cos x }{\sin x} \dfrac{ 1 }{\sin x} = - \cot x \csc x}\)

conclusión
\[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \csc x = - \cot x \; \csc x} \]

Gráfico de csc x y su Derivada

Se muestran los gráficos de \( \csc(x) \) y su derivada a continuación.

Gráfico de csc x y su derivada

Derivada de la Función Compuesta csc (u(x))

Consideremos ahora la función compuesta csc de otra función u(x). Use la regla de la cadena de diferenciación para escribir

\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} \csc (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \csc u) (\dfrac{d}{dx} u ) \)

Simplificamos

\( = - \cot u \csc u \dfrac{d}{dx} u \)

Conclusion

\[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \csc (u(x)) = - \cot u \; \csc u \; \dfrac{d}{dx} u \]

Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones compuestas de csc

  1. \( f(x) = \csc (-x^3+3) \)
  2. \( g(x) = \csc (\cos(x)) \)
  3. \( h(x) = \csc (\dfrac{1}{x^2+1}) \)

Solución al Ejemplo 1


  1. Sea \( u(x) = -x^3+3 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (-x^3+3) = -3x^2 \) y aplicamos la regla para la función compuesta csc dada anteriormente

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = - \cot u \csc u \dfrac{d}{ dx} u = - \cot (-x^3+3) \csc (-x^3+3) \times (-3x^2) \)

    \( = 3x^2 \; \cot (-x^3+3) \; \csc (-x^3+3) \)


  2. Sea \( u(x) = \cos x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \cos x = - \sin x \) y aplicamos la regla de diferenciación anterior para la función compuesta csc

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = - \cot u \csc u \dfrac{d}{dx} u = - \cot (\cos x) \csc (\cos x) \times (- \sin x) \)

    \( = \sin x \;\cot (\cos x) \; \csc (\cos x) \)


  3. Sea \( u(x) = \dfrac{1}{x^2+1} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = -\dfrac{2x}{(x^2+1)^2} \) y aplicamos la regla de diferenciación para la función compuesta csc obtenida anteriormente

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = - \cot u \csc u \dfrac{d}{dx} u = - \cot (\dfrac{1}{x^2+1}) \csc (\dfrac{1}{x^2+1}) \times (-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}) \)

    \( = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2} \; \cot (\dfrac{1}{x^2+1}) \;\csc (\dfrac{1}{x^2+1}) \)


Más Referencias y enlaces

Reglas de Diferenciación de Funciones en Cálculo.
Identidades y Fórmulas Trigonométricas.
Derivadas de las Funciones Trigonométricas.
Regla de la Cadena de Diferenciación en Cálculo.