Una identidad trigonométrica relacionando \( \csc x \) y \( \sin x \) es dada por
\[ \csc x = \dfrac { 1 }{ \sin x } \]
Usamos la regla del cociente para la diferenciación para encontrar la derivada de \( \csc x \); por lo tanto
\( \displaystyle { \dfrac {d}{dx} \csc x = \dfrac {d}{dx} (\dfrac{ 1 }{\sin x}) = \dfrac { (\dfrac {d}{dx}1) { \sin x } - 1 (\dfrac {d}{dx} \sin x) } {\sin^2 x} } \)
La derivada de 1 es igual a cero. Usamos las fórmulas para la derivada de las funciones trigonométricas \( \sin x \) dada por \( \dfrac {d}{dx}\sin x = \cos x \) y sustituimos para obtener
\[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \csc (u(x)) = - \cot u \; \csc u \; \dfrac{d}{dx} u \]
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones compuestas de csc
\( f(x) = \csc (-x^3+3) \)
\( g(x) = \csc (\cos(x)) \)
\( h(x) = \csc (\dfrac{1}{x^2+1}) \)
Solución al Ejemplo 1
Sea \( u(x) = -x^3+3 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (-x^3+3) = -3x^2 \) y aplicamos la regla para la función compuesta csc dada anteriormente
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = - \cot u \csc u \dfrac{d}{
dx} u = - \cot (-x^3+3) \csc (-x^3+3) \times (-3x^2) \)
\( = 3x^2 \; \cot (-x^3+3) \; \csc (-x^3+3) \)
Sea \( u(x) = \cos x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \cos x = - \sin x \) y aplicamos la regla de diferenciación anterior para la función compuesta csc
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = - \cot u \csc u \dfrac{d}{dx} u = - \cot (\cos x) \csc (\cos x) \times (- \sin x) \)
\( = \sin x \;\cot (\cos x) \; \csc (\cos x) \)
Sea \( u(x) = \dfrac{1}{x^2+1} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = -\dfrac{2x}{(x^2+1)^2} \) y aplicamos la regla de diferenciación para la función compuesta csc obtenida anteriormente
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = - \cot u \csc u \dfrac{d}{dx} u = - \cot (\dfrac{1}{x^2+1}) \csc (\dfrac{1}{x^2+1}) \times (-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}) \)