Ejemplos con soluciones detalladas y ejercicios que resuelven preguntas de límites relacionadas con formas indeterminadas como:
Teorema
Una segunda versión de la regla de L'Hôpital nos permite reemplazar el problema de límite
con otro problema más simple de resolver.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Encuentra el límite
Solución del Ejemplo 1:
Dado que
y
tenemos la forma indeterminada
Se puede utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar la pregunta de límite dada de la siguiente manera
Evaluar las derivadas en el numerador y el denominador
Evaluar los límites en el numerador y denominador
Ahora evaluamos el límite dado
Ejemplo 2
Encuentra \( \lim_{x\to \infty} x e^{-x} \)
Solución del Ejemplo 2:
Observa que
\( \lim_{x\to \infty} x = \infty \)
y
\( \lim_{x\to \infty} e^{-x} = 0 \)
Esta es la forma indeterminada \( \infty \cdot 0 \). La idea es convertirla en la forma indeterminada \( \dfrac{\infty}{\infty} \) y usar el teorema de L'Hôpital. Observa que
\( \lim_{x\to \infty} x e^{-x} = \lim_{x\to \infty} \dfrac{ x}{ e^x} = \dfrac{ \infty }{ \infty }\)
Aplicamos el teorema de L'Hôpital
\( = \lim_{x\to \infty} \dfrac{ (x)'}{ (e^x)'} = \lim_{x\to \infty} \dfrac{ 1 }{ e^x} = 0\)
Ejemplo 3
Encuentra \( \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x \)
Solución del Ejemplo 3:
Observa que \( \lim_{x\to \infty} (1 + 1/x) = 1 \) y el límite anterior está dado por
\( \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x = 1^{\infty}\)
que es de la forma indeterminada \( 1^{\infty}\). Si dejamos \( t = 1 / x \) el límite anterior puede escribirse como
\( \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x = \lim_{t\to 0} ( 1 + t)^{1/t} \) , observa que conforme \( x\to \infty \) , \( t\to 0 \)
Dejemos \( y = ( 1 + t)^{1/t} \) y encontremos el límite de \( \ln y \) conforme t se acerca a 0
\( \ln y = \ln ( 1 + t)^{1/t} =(1 / t) \ln (1 + t) \)
La ventaja de usar \( \ln y \) es que
\( \lim_{t\to 0} \ln y = \lim_{t\to 0} \dfrac {\ln (1 + t)}{t} = \dfrac{0}{0} \)
y el límite tiene la forma indeterminada 0 / 0 y se puede aplicar la primera regla de L'Hôpital
\( \lim_{t\to 0} \ln y = \lim_{t\to 0} \dfrac {ln (1 + t)}{t} \)
\( = \lim_{t\to 0} \dfrac{(ln (1 + t))'}{(t)'} = \lim_{t\to 0} \dfrac{1/(1+t)}{1} = 1\)
Dado que el límite de ln y = 1 el límite de y es e 1 = e, por lo tanto
\( \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x = e \)
Ejemplo 4
Encuentra el límite \( \lim_{x\to 0^+} ( 1 / x - 1 / \sin x )\)
Solución del Ejemplo 4:
Observa que
\( \lim_{x\to 0^+} ( 1 / x ) = + \infty \)
y
\( \lim_{x\to 0^+} ( 1 / \sin x ) = + \infty \)
Este límite tiene la forma indeterminada \( \infty - \infty \) y debe convertirse en otra forma combinando \( 1 / x - 1 / sin x \)
\( \lim_{x\to 0^+} ( 1 / x - 1 / \sin x ) = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \dfrac{0}{0} \)
Ahora tenemos la forma indeterminada 0 / 0 y podemos usar el teorema de L'Hôpital.
\( \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{(\sin x - x)'}{(x \sin x)'} = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\cos x - 1}{ \sin x + x \cos x} = \dfrac{0}{0} \)
Tenemos nuevamente la forma indeterminada 0 / 0 y usamos el teorema de L'Hôpital una vez más.
\( = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{(\cos x - 1)'}{ (\sin x + x \cos x)'} \)
\( = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{-\sin x}{ \cos x + \cos x - x \sin x } = \dfrac{0}{2} = 0\)
Ejemplo 5
Encuentra el límite \( \lim_{x\to 0^+} x^x \)
Solución del Ejemplo 5:
Tenemos la forma indeterminada 00. Deja y = x x y ln y = ln (x x) = x ln x. Ahora encontremos el límite de ln y
\( \lim_{x\to 0^+} \ln y = \lim_{x\to 0^+} x \ln x = 0 \cdot \infty\)
El límite anterior tiene la forma indeterminada \( 0 \cdot \infty\). La convertimos de la siguiente manera
\( \lim_{x\to 0^+} x \ln x = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \dfrac{\infty}{\infty} \)
Ahora tiene la forma indeterminada \( \dfrac{\infty}{\infty} \) y podemos usar el teorema de L'Hôpital
\( \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{
x\to 0^+} \dfrac{(\ln x)'}{(1/x)'} \)
\( = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} \)
\( = \lim_{x\to 0^+} - x = 0\)
El límite de ln y = 0 y el límite de y = xx es igual a
\( e^0 = 1 \)
