Aplicaciones y Uso de las Funciones Inversas

Ejemplos sobre cómo aplicar y usar funciones inversas en situaciones de la vida real y para resolver problemas matemáticos.

Ejemplo 1

Usar funciones inversas para resolver ecuaciones.

Resuelve la siguiente ecuación:

\[ \log(x - 3) = 2 \]

Solución del Ejemplo 1

Dado que las funciones logarítmicas y exponenciales son inversas entre sí, podemos escribir: \[ A = \log(B) \quad \text{si y solo si} \quad B = 10^A \]
Usando esta propiedad, reescribe la ecuación dada: \[ x - 3 = 10^2 \]
Despeja \(x\): \[ x = 103 \]

Ejemplo 2

Usar funciones inversas para encontrar el rango de una función.

Encuentra el rango de la función \(f\) dada por:

\[ f(x) = \frac{2x}{x - 3} \]

Solución del Ejemplo 2

El rango de una función inyectiva es el dominio de su inversa. Primero, mostramos que \(f\) es inyectiva. Comienza con: \[ f(a) = f(b) \]
\[ \frac{2a}{a - 3} = \frac{2b}{b - 3} \]
Multiplica ambos lados por \((a-3)(b-3)\): \[ 2a(b - 3) = 2b(a - 3) \]
Expande ambos lados: \[ 2ab - 6a = 2ab - 6b \]
Simplifica para obtener: \[ a = b \]
Por lo tanto, la función es inyectiva. Ahora encuentra su inversa.
\[ y = \frac{2x}{x - 3} \]
Intercambia \(x\) y \(y\) y despeja \(y\): \[ x = \frac{2y}{y - 3} \] \[ y = \frac{3x}{2 - x} \]
Por lo tanto: \[ f^{-1}(x) = \frac{3x}{2 - x} \]
El dominio de \(f^{-1}\) excluye \(x = 2\). Por lo tanto, el rango de \(f\) son todos los números reales excepto 2.

Ejemplo 3

Usar funciones inversas para encontrar el ángulo de elevación.

Una cámara fotografía un globo aerostático que asciende verticalmente. La cámara está a 300 metros del punto de lanzamiento. El ángulo de elevación \(t\) depende de la altura \(x\) del globo.

(a) Encuentra \(t\) en función de \(x\).
(b) Encuentra \(t\) cuando \(x = 150, 300, 600\) metros.
(c) Grafica \(t\) en función de \(x\).

Solución del Ejemplo 3

Usando trigonometría de triángulos rectángulos: \[ \tan(t) = \frac{x}{300} \]
Aplica la tangente inversa: \[ t = \tan^{-1}\left(\frac{x}{300}\right) \]
Valores de \(t\):
\[ t(150) = 25.6^\circ, \quad t(300) = 45.0^\circ, \quad t(600) = 63.4^\circ \]
Grafica \(t\) usando la siguiente tabla:

x	t (grados)	0	0	150	25.6	300	45.0	600	63.4	1200	76.0	3000	84.3

Ejemplo 4

Usar funciones inversas para encontrar el radio de un cono circular recto.

Cinco conos de altura \(h = 50\) cm tienen volúmenes de 200, 400, 800, 1600 y 3200 cm\(^3\). Encuentra el radio de cada cono.

Solución del Ejemplo 4

Fórmula del volumen: \[ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \]
Despeja \(r\): \[ r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}} \]
Radios calculados:

\[ \begin{aligned} V = 200 &\Rightarrow r = 1.95\text{ cm} \\ V = 400 &\Rightarrow r = 2.76\text{ cm} \\ V = 800 &\Rightarrow r = 3.91\text{ cm} \\ V = 1600 &\Rightarrow r = 5.53\text{ cm} \\ V = 3200 &\Rightarrow r = 7.82\text{ cm} \end{aligned} \]

Ejemplo 5

Usar funciones inversas para resolver problemas de crecimiento poblacional.

\[ P = 200{,}000 e^{0.01t} \]

Encuentra cuándo la población alcanza 300,000; 400,000; y 500,000.

Solución del Ejemplo 5

Despeja \(t\): \[ t = \frac{\ln(P/200{,}000)}{0.01} \]