Encontrar la Inversa de Funciones Exponenciales
Este tutorial explica cómo encontrar la inversa de funciones exponenciales y cómo determinar su dominio y rango. Cada ejemplo se resuelve paso a paso para ayudarte a entender el proceso claramente.
Ejemplo 1
Encuentra la función inversa, su dominio y su rango para
\[
f(x) = e^{x-3}
\]
Solución
-
La función dada es exponencial. Su dominio es
\( (-\infty, +\infty) \) y su rango es
\( (0, +\infty) \).
-
Escribe la función como una ecuación:
\[
y = e^{x-3}
\]
-
Toma el logaritmo natural de ambos lados:
\[
x - 3 = \ln y \quad \Rightarrow \quad x = \ln y + 3
\]
-
Intercambia \(x\) e \(y\) para obtener la función inversa:
\[
f^{-1}(x) = \ln x + 3
\]
El dominio de \(f^{-1}\) es \( (0, +\infty) \) y su rango es
\( (-\infty, +\infty) \).
Ejemplo 2
Encuentra la función inversa, su dominio y su rango para
\[
f(x) = 2e^{2x+3} + 4
\]
Solución
-
El dominio de \(f\) es \( (-\infty, +\infty) \).
Dado que \(e^{2x+3} > 0\), el rango de \(f\) es
\( (4, +\infty) \).
-
Escribe la función como una ecuación y resuelve para \(x\):
\[
y = 2e^{2x+3} + 4
\]
\[
e^{2x+3} = \frac{y-4}{2}
\]
\[
2x + 3 = \ln\left(\frac{y-4}{2}\right)
\]
\[
x = \frac{1}{2}\left[\ln\left(\frac{y-4}{2}\right) - 3\right]
\]
-
Intercambia \(x\) e \(y\) para obtener la inversa:
\[
f^{-1}(x) = \frac{1}{2}\left[\ln\left(\frac{x-4}{2}\right) - 3\right]
\]
El dominio de \(f^{-1}\) es \( (4, +\infty) \) y su rango es
\( (-\infty, +\infty) \).
Ejemplo 3
Encuentra la función inversa, su dominio y su rango para
\[
f(x) = 2e^{x^2 - 1} + 2, \quad x \ge 0
\]
Solución
-
La función no es uno a uno en \(\mathbb{R}\), pero restringir el dominio a
\(x \ge 0\) la hace uno a uno.
-
Dominio: \([0, +\infty)\).
-
Dado que \(x^2 \ge 0\), tenemos
\[
x^2 - 1 \ge -1
\]
Tomando exponenciales y simplificando se obtiene el rango:
\[
f(x) \ge 2e^{-1} + 2
\]
Por lo tanto, el rango es \([2e^{-1} + 2, +\infty)\).
-
Resuelve para \(x\):
\[
y = 2e^{x^2 - 1} + 2
\]
\[
x^2 = \ln\left(\frac{y-2}{2}\right) + 1
\]
Dado que \(x \ge 0\),
\[
x = \sqrt{\ln\left(\frac{y-2}{2}\right) + 1}
\]
-
Intercambia \(x\) e \(y\) para obtener la inversa:
\[
f^{-1}(x) = \sqrt{\ln\left(\frac{x-2}{2}\right) + 1}
\]
El dominio de \(f^{-1}\) es \([2e^{-1} + 2, +\infty)\) y su rango es
\([0, +\infty)\).
Ejercicios
Encuentra la función inversa, su dominio y su rango.
- \( f(x) = -e^{x+4} \)
- \( g(x) = 2 - e^{(4x-2)/3} \)
- \( h(x) = -e^{2x^2 - 5} + 3, \; x \le 0 \)
Respuestas
-
\( f^{-1}(x) = \ln(-x) - 4 \),
Dominio: \( (-\infty, 0) \), Rango: \( (-\infty, +\infty) \)
-
\( g^{-1}(x) = \frac{3}{4}\ln(2-x) + \frac{1}{2} \),
Dominio: \( (-\infty, 2) \), Rango: \( (-\infty, +\infty) \)
-
\( h^{-1}(x) = -\sqrt{\tfrac{1}{2}\ln(3-x) + \tfrac{5}{2}} \),
Dominio: \( (-\infty, -e^{-5} + 3) \), Rango: \( (-\infty, +\infty) \)
Más Referencias y Enlaces