Inversa de Funciones Cuadráticas
Aprende cómo encontrar la inversa de funciones cuadráticas con dominios restringidos. Este tutorial incluye ejemplos paso a paso con soluciones detalladas.
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Ejemplo 1
Encuentra la inversa de la función cuadrática en forma vértice:
\[
f(x) = 2(x - 2)^2 + 3, \quad x \le 2
\]
Solución
- La función es cuadrática con un dominio restringido, por lo tanto es inyectiva. Escribe la función como una ecuación:
\[
y = 2(x - 2)^2 + 3
\]
- Despeja \(x\):
\[
(x - 2)^2 = \frac{y - 3}{2}
\]
\[
x - 2 = \pm \sqrt{\frac{y - 3}{2}}
\]
\[
x = 2 \pm \sqrt{\frac{y - 3}{2}}
\]
- Como \(x \le 2\), tomamos la solución:
\[
x = 2 - \sqrt{\frac{y - 3}{2}}
\]
- Intercambia \(x\) e \(y\) para obtener la función inversa:
\[
y = 2 - \sqrt{\frac{x - 3}{2}}, \quad f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{\frac{x - 3}{2}}
\]
Ejemplo 2
Encuentra la inversa de la función cuadrática:
\[
f(x) = -2x^2 + 4x + 2, \quad x \ge 1
\]
Solución
- Escribe \(f\) en forma vértice completando el cuadrado:
\[
f(x) = -2(x^2 - 2x) + 2 = -2((x - 1)^2 - 1) + 2 = -2(x - 1)^2 + 4
\]
- La gráfica confirma que es inyectiva. Despeja \(x\):
\[
y = -2(x - 1)^2 + 4
\]
\[
(x - 1)^2 = \frac{4 - y}{2}
\]
\[
x - 1 = \pm \sqrt{\frac{4 - y}{2}}
\]
\[
x = 1 \pm \sqrt{\frac{4 - y}{2}}
\]
- Como \(x \ge 1\), elige:
\[
x = 1 + \sqrt{\frac{4 - y}{2}}
\]
- Intercambia \(x\) e \(y\) para obtener la función inversa:
\[
y = 1 + \sqrt{\frac{4 - x}{2}}, \quad f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{\frac{4 - x}{2}}
\]
Ejercicios
Encuentra la inversa de las siguientes funciones cuadráticas:
- \[
f(x) = (x - 3)^2 + 3, \quad x \ge 3
\]
- \[
g(x) = -x^2 + 4x - 4, \quad x \le 2
\]
Respuestas
- \[
f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x - 3}
\]
- \[
g^{-1}(x) = 2 - \sqrt{-x}
\]
Más Enlaces y Referencias