Encontrar la inversa de funciones de raíz cúbica

Este tutorial explica cómo encontrar la inversa de funciones de raíz cúbica, así como determinar su dominio y rango. Cada ejemplo se resuelve paso a paso utilizando un razonamiento algebraico claro. A lo largo del tutorial, las raíces cúbicas se escriben usando notación matemática estándar.

Ejemplo 1

Encuentra la función inversa, su dominio y su rango para

Solución

• Dominio y rango de la función dada:
  \[D = (-\infty, +\infty), \quad R = (-\infty, +\infty)\]
• Escribe la función como una ecuación:
  \[y = \sqrt[3]{2x - 1}\]
• Eleva al cubo ambos lados:
  \[y^3 = 2x - 1\]
• Resuelve para x:
  \[x = \tfrac{1}{2}(y^3 + 1)\]
• Intercambia x y y:
  \[f^{-1}(x) = \tfrac{1}{2}(x^3 + 1)\]

El dominio y el rango de la función inversa son los mismos que los de la función original: \[(-\infty, +\infty)\]

Ejemplo 2

Encuentra la función inversa, su dominio y su rango para

Solución

• Dominio y rango:
  \[D = (-\infty, +\infty), \quad R = (-\infty, +\infty)\]
• Escribe como una ecuación:
  \[y = \sqrt[3]{\tfrac{x}{3} - 1} - 4\]
• Reorganiza:
  \[\sqrt[3]{\tfrac{x}{3} - 1} = y + 4\]
• Eleva al cubo ambos lados:
  \[\tfrac{x}{3} - 1 = (y + 4)^3\]
• Resuelve para x:
  \[x = 3\big((y + 4)^3 + 1\big) = 3(y + 4)^3 + 3\]
• Intercambia variables:
  \[f^{-1}(x) = 3(x + 4)^3 + 3\]

La función inversa también tiene dominio y rango \(( -\infty, +\infty )\).

Ejemplo 3

Encuentra la función inversa, su dominio y su rango para

Solución

• Debido a que el dominio está restringido a \(x \ge 0\), la función es uno a uno.
• Dominio y rango de la función dada:
  \[D = [0, +\infty), \quad R = [4, +\infty)\]
• Escribe la función como una ecuación:
  \[y = \sqrt[3]{4x^2 + 8} + 2\]
• Reorganiza y eleva al cubo ambos lados:
  \[(y - 2)^3 = 4x^2 + 8\]
• Resuelve para x:
  \[x^2 = \tfrac{1}{4}\big((y - 2)^3 - 8\big)\]
• Selecciona la raíz positiva (ya que \(x \ge 0\)):
  \[x = \tfrac{1}{4}\sqrt{(y - 2)^3 - 8}\]
• Intercambia variables:
  \[f^{-1}(x) = \tfrac{1}{4}\sqrt{(x - 2)^3 - 8}\]

El dominio y el rango de la inversa son: \[D_{f^{-1}} = [4, +\infty), \quad R_{f^{-1}} = [0, +\infty)\]

Ejercicios

Encuentra la función inversa, su dominio y su rango para:

1. \(f(x) = -\sqrt[3]{-x + 3}\)
2. \(g(x) = \sqrt[3]{x^2 + 2x + 4}, \quad x \ge -1\)

Respuestas

1. \(f^{-1}(x) = x^3 + 3, \quad D = (-\infty, +\infty), \; R = (-\infty, +\infty)\)
2. \(g^{-1}(x) = -1 + \sqrt{x^3 - 3}, \quad D = [\sqrt[3]{3}, +\infty), \; R = [-1, +\infty) \)

Recursos adicionales sobre funciones inversas:

• Encontrar la inversa de una función cúbica – Paso a paso
• Calculadora de funciones inversas
• Aplicaciones de funciones inversas
• Inversa de funciones de raíz cuadrada
• Funciones logarítmicas inversas
• Funciones exponenciales inversas