Encontrar la inversa de funciones de raíz cuadrada

Este tutorial proporciona ejemplos paso a paso sobre cómo encontrar la inversa de funciones de raíz cuadrada, incluyendo cómo determinar su dominio y rango.

Ejemplo 1

Encuentra la función inversa, su dominio y rango de la función:

\( f(x) = \sqrt{x - 1} \)

Solución:

Dominio de \(f\): \([1, +\infty)\), Rango de \(f\): \([0, +\infty)\).
Escribe \(f\) como una ecuación: \( y = \sqrt{x - 1} \)
Eleva al cuadrado ambos lados: \( y^2 = x - 1 \)
Resuelve para \(x\): \( x = y^2 + 1 \)
Intercambia \(x\) e \(y\) para obtener la inversa: \( f^{-1}(x) = x^2 + 1 \)
Dominio y rango de \(f^{-1}\): Dominio: \([0, +\infty)\), Rango: \([1, +\infty)\)

Encuentra la inversa, su dominio y rango de:

\( f(x) = \sqrt{x + 3} - 5 \)

Solución:

Dominio: \(x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3\) → \([-3, +\infty)\)
Rango: \([-5, +\infty)\)
Escribe como ecuación: \( y = \sqrt{x + 3} - 5 \Rightarrow \sqrt{x + 3} = y + 5 \)
Eleva al cuadrado ambos lados: \( x + 3 = (y + 5)^2 \)
Resuelve para \(x\): \( x = (y + 5)^2 - 3 \)
Intercambia \(x\) e \(y\): \( f^{-1}(x) = (x + 5)^2 - 3 \)
Dominio y rango de \(f^{-1}\): Dominio: \([-5, +\infty)\), Rango: \([-3, +\infty)\)

Encuentra la inversa, su dominio y rango de:

\( f(x) = -\sqrt{x^2 - 1}, \quad x \le -1 \)

Solución:

Dominio: \((-\infty, -1]\), Rango: \((-\infty, 0]\)
Escribe como ecuación: \( y = -\sqrt{x^2 - 1} \)
Eleva al cuadrado ambos lados: \( y^2 = x^2 - 1 \Rightarrow x^2 = y^2 + 1 \)
Selecciona la solución usando el dominio: \( x = -\sqrt{y^2 + 1} \)
Intercambia \(x\) e \(y\) para la inversa: \( f^{-1}(x) = -\sqrt{x^2 + 1} \)
Dominio y rango de \(f^{-1}\): Dominio: \([0, +\infty)\), Rango: \((-\infty, -1]\)

Encuentra la inversa, su dominio y rango de:

Respuestas:

\( f^{-1}(x) = \frac{1}{4}(x + 6)^2 - 2 \), Dominio: \((-\infty, -6]\), Rango: \([-2, +\infty)\)
\( g^{-1}(x) = \sqrt{\frac{(x - 4)^2}{4} + 4} \), Dominio: \([4, +\infty)\), Rango: \([2, +\infty)\)