Este tutorial proporciona un enfoque analítico para las funciones racionales, con el objetivo de comprender sus ecuaciones, gráficas y comportamiento asintótico. Cada ejemplo incluye una solución detallada. Las respuestas a los ejercicios emparejados están disponibles aquí.
Encuentra la ecuación de la función racional \( f \) de la forma
\[ f(x) = \frac{2}{bx + c} \]cuya gráfica tiene:
Como la gráfica tiene una intersección con el eje y en \( (0,-1) \), evaluamos la función en \( x = 0 \):
\[ f(0) = -1 \]Sustituyendo en la fórmula se obtiene:
\[ -1 = \frac{2}{c} \]Resolviendo para \( c \):
\[ c = -2 \]Una asíntota vertical ocurre cuando el denominador es cero. Dado que la asíntota vertical está en \( x = 2 \), establecemos:
\[ 2b + c = 0 \]Sustituyendo \( c = -2 \):
\[ 2b - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 1 \]Por lo tanto, la ecuación de la función racional es:
\[ f(x) = \frac{2}{x - 2} \]La gráfica a continuación confirma la intersección con el eje y y la asíntota vertical.
Encuentra la ecuación de la función racional \( f \) de la forma
\[ f(x) = \frac{-1}{bx + c} \]cuya gráfica tiene:
Encuentra la ecuación de la función racional \( f \) de la forma
\[ f(x) = \frac{x + a}{bx + c} \]cuya gráfica tiene:
La intersección con el eje x ocurre donde el numerador es cero:
\[ 2 + a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]La asíntota horizontal está dada por la relación de los coeficientes principales del numerador y el denominador:
\[ \frac{1}{b} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad b = 2 \]La asíntota vertical ocurre donde el denominador es cero. Dado que está en \( x = -1 \):
\[ - b + c = 0 \]Sustituyendo \( b = 2 \):
\[ -2 + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = 2 \]Por lo tanto, la ecuación de la función racional es:
\[ f(x) = \frac{x - 2}{2x + 2} \]La gráfica a continuación confirma las intersecciones y asíntotas.
Encuentra la ecuación de la función racional \( f \) de la forma
\[ f(x) = \frac{ax - 2}{bx + c} \]cuya gráfica tiene:
Respuesta al Ejercicio Emparejado 2
Encuentra la ecuación de la función racional \( f \) tal que:
Una discontinuidad removible (hueco) en \( x = 1 \) significa que tanto el numerador como el denominador contienen el factor \( (x - 1) \), el cual se cancela.
Una asíntota vertical en \( x = -2 \) significa que el denominador contiene un factor \( (x + 2) \) que no se cancela.
Dado que la asíntota horizontal es \( y = 1 \), los grados del numerador y del denominador deben ser iguales, con coeficientes principales iguales.
Una forma general adecuada es:
\[ f(x) = \frac{(x - 1)(x + a)}{(x - 1)(x + 2)} \]Cancelando el factor común se obtiene:
\[ f(x) = \frac{x + a}{x + 2}, \quad x \ne 1 \]Ahora usamos la condición de la intersección con el eje y \( f(0) = -2 \):
\[ \frac{a}{2} = -2 \quad \Rightarrow \quad a = -4 \]Por lo tanto, la función racional es:
\[ f(x) = \frac{(x - 1)(x - 4)}{(x - 1)(x + 2)}, \quad x \ne 1 \]Esta función tiene:
Encuentra la ecuación de una función racional \( f \) tal que:
Las intersecciones con el eje x corresponden a los ceros del numerador. Por lo tanto, el numerador debe contener los factores \( (x + 1) \) y \( (x - 2) \):
\[ \text{Numerador} = (x + 1)(x - 2) \]Una asíntota vertical en \( x = 1 \) significa que el denominador contiene el factor \( (x - 1) \).
Para obtener una asíntota oblicua, el grado del numerador debe ser exactamente uno mayor que el grado del denominador.
Una forma general adecuada es:
\[ f(x) = \frac{(x + 1)(x - 2)}{x - 1} \]Ahora verificamos la intersección con el eje y evaluando \( f(0) \):
\[ f(0) = \frac{(1)(-2)}{-1} = -2 \]La condición de la intersección con el eje y se cumple.
Por lo tanto, la función racional requerida es:
\[ f(x) = \frac{(x + 1)(x - 2)}{x - 1} \]Esta función tiene: