Funciones Racionales

Esta lección introduce las funciones racionales y las principales propiedades de sus gráficas, incluyendo el dominio, las intersecciones con los ejes x e y, y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Se incluyen ejemplos trabajados y recursos interactivos para reforzar la comprensión.

Definición y Dominio de Funciones Racionales

Una función racional se define como el cociente de dos funciones polinómicas:

\[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \]

La siguiente gráfica representa la función

\[ f(x) = \frac{x^2 - 1}{(x + 2)(x - 3)} \]

Dado que el denominador se anula en \(x = -2\) y \(x = 3\), la función no está definida en esos valores. Como resultado, la gráfica es discontinua en esos puntos. Las líneas verticales discontinuas indican los valores donde la función no está definida y anticipan el concepto de asíntotas verticales.

Gráfica de una función racional

Debido a que la división por cero no está definida, el dominio de una función racional consiste en todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero.

Ejemplo 1: Encontrando el Dominio

Encuentra el dominio de cada función:

  1. \( f(x) = \frac{x + 2}{x} \)
  2. \( g(x) = \frac{x - 1}{x - 2} \)
  3. \( h(x) = \frac{x}{(x - 1)(x + 5)} \)
  4. \( k(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 9} \)
  5. \( l(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \)

Solución al Ejemplo 1

  1. El denominador no debe ser cero: \[ x \neq 0 \] Dominio: \[ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \]
  2. Resuelve \(x - 2 = 0\): \[ x = 2 \] Dominio: \[ (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) \]
  3. Resuelve \((x - 1)(x + 5) = 0\): \[ x = 1,\; x = -5 \] Dominio: \[ (-\infty, -5) \cup (-5, 1) \cup (1, +\infty) \]
  4. Resuelve \(x^2 - 9 = 0\): \[ x = \pm 3 \] Dominio: \[ (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty) \]
  5. Dado que \(x^2 + 1 \neq 0\) para todo \(x\) real, el dominio es: \[ (-\infty, +\infty) \]

Agujeros en las Gráficas de Funciones Racionales

Un agujero ocurre cuando el numerador y el denominador comparten un factor común.

Ejemplo 2: Agujero en una Función Racional

\[ f(x) = \frac{2x + 2}{x + 1} \]

Factoriza el numerador:

\[ f(x) = \frac{2(x + 1)}{x + 1} = 2, \quad x \neq -1 \]

La gráfica es la línea horizontal \(y = 2\) con un agujero en \(x = -1\).

Gráfica de una función racional con un agujero

Asíntotas Verticales de Funciones Racionales

Considera la función:

\[ f(x) = \frac{1}{x} \]

La función no está definida en \(x = 0\). A medida que \(x\) se acerca a cero:

\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty \]

La línea vertical \(x = 0\) es una asíntota vertical. En general, las asíntotas verticales ocurren en los ceros del denominador que no se cancelan con el numerador.

Ejemplo 3: Asíntotas Verticales

  1. \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \)
  2. \( g(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 1} \)
  3. \( h(x) = \frac{6}{x^2 + 2} \)

Solución al Ejemplo 3

  1. \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\) es una asíntota vertical.
  2. \[ g(x) = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1} \] Agujero en \(x = 1\), asíntota vertical en \(x = -1\).
  3. \(x^2 + 2 \neq 0\) para todo \(x\) real; no hay asíntota vertical.
Gráficas de funciones racionales con asíntotas verticales

Asíntotas Horizontales de Funciones Racionales

Cuando \(|x|\) se vuelve muy grande, la gráfica de \(f(x) = \frac{1}{x}\) se aproxima a la línea horizontal:

\[ y = 0 \]

Usando límites:

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \]

Reglas para las Asíntotas Horizontales

Sea \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\), donde:

Asíntotas Oblicuas de Funciones Racionales

Si el grado del numerador es exactamente uno más que el grado del denominador, la gráfica tiene una asíntota oblicua.

Ejemplo 5: Asíntota Oblicua

\[ h(x) = \frac{x^2}{2x - 2} \]

Divide:

\[ \frac{x^2}{2x - 2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2x - 2} \]

La asíntota oblicua es:

\[ y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \] Gráfica con asíntota oblicua

Más Referencias