مشتقة الدالة tan(x) مع الأمثلة وقاعدة السلسلة

برهان خطوة بخطوة، الرسم البياني، قاعدة السلسلة، والمسائل المحلولة

هنا، نتعلم كيفية إيجاد مشتقة الدالة tan(x) خطوة بخطوة. باستخدام المتطابقة المثلثية

\( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \)
، إلى جانب المشتقات المعروفة لكل من \( \sin x \) و \( \cos x \)، نطبق قاعدة القسمة لاستنتاج الصيغة
\( \dfrac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x \)
. كما نُممد هذه النتيجة لتشمل الدوال المركبة من الشكل \( \tan(u(x)) \) باستخدام قاعدة السلسلة، ونعمل من خلال عدة أمثلة لتعزيز الفهم.

حساب مشتقة الدالة tan(x)

المتطابقة المثلثية التي تربط بين \( \tan x \)، و \( \sin x \)، و \( \cos x \) هي:

\[ \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \]

إحدى طرق إيجاد مشتقة \( \tan x \) هي استخدام قاعدة القسمة في الاشتقاق؛ وبالتالي:

\[ \dfrac{d}{dx} \tan x = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right) = \dfrac{\left(\dfrac{d}{dx}\sin x\right)\cos x - \sin x \left(\dfrac{d}{dx}\cos x\right)}{\cos^2 x} \]

باستخدام الصيغ الخاصة بـ مشتقات الدوال المثلثية \( \sin x \) و \( \cos x \)، والتي تُعطى بـ

\( \dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x \)
و
\( \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x \)، نعوض لنحصل على:

\[ \dfrac{d}{dx} \tan x = \dfrac{\cos x \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} \]

بالتبسيط:

\[ = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]
الخلاصة:
\[ \dfrac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x \]

رسم الدالة tan(x) ومشتقاتها

تظهر الرسوم البيانية للدالة \( \tan(x) \) ومشتقاتها أدناه:

Graph of tan x and its derivative

مشتقة الدالة المركبة tan(u(x))

لدينا الآن دالة مركبة وهي عبارة عن دالة (الظل) لدالة أخرى (\( u \)). استخدم قاعدة السلسلة في الاشتقاق لتكتب:

\[ \dfrac{d}{dx} \tan(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \tan u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right) \]

بالتبسيط:

\[ = \sec^2 u \cdot \dfrac{du}{dx} \]
الخلاصة:
\[ \dfrac{d}{dx} \tan(u(x)) = \sec^2 u \dfrac{du}{dx} \]

أمثلة مع الحلول

المثال 1: إيجاد مشتقة دوال الظل المركبة

أوجد مشتقة كل من:

  1. \( f(x) = \tan(2x - 1) \)
  2. \( g(x) = \tan(\cos x) \)
  3. \( h(x) = \tan\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right) \)

الحل:

  1. لتكن \( u(x) = 2x - 1 \)، وبالتالي
    \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{d}{dx}(2x - 1) = 2 \)
    . بتطبيق القاعدة:
    \[ \dfrac{d}{dx} f(x) = \sec^2 u \cdot \dfrac{du}{dx} = \sec^2(2x - 1) \cdot 2 = 2\sec^2(2x - 1) \]
  2. لتكن \( u(x) = \cos x \)، وبالتالي
    \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x \)
    . بتطبيق القاعدة:
    \[ \dfrac{d}{dx} g(x) = \sec^2 u \cdot \dfrac{du}{dx} = \sec^2(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \sec^2(\cos x) \]
  3. لتكن
    \( u(x) = \dfrac{x-1}{x+2} \)
    ، وبالتالي
    \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{3}{(x+2)^2} \)
    (باستخدام قاعدة القسمة). بتطبيق القاعدة:
    \[ \dfrac{d}{dx} h(x) = \sec^2 u \cdot \dfrac{du}{dx} = \sec^2\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right) \cdot \dfrac{3}{(x+2)^2} = \dfrac{3\sec^2\left(\dfrac{x-1}{x+2}\right)}{(x+2)^2} \]

المزيد من المراجع وروابط