التكاملات التي تتضمن sin x و cos x والدوال الأسية

أمثلة محلولة خطوة بخطوة، تقنيات التكامل بالأجزاء، التمارين، والمراجع

درس لإيجاد التكاملات التي تتضمن حاصل ضرب \( \sin(x) \) أو \( \cos(x) \) مع الدوال الأسية. يتم توفير التمارين مع الإجابات في أسفل الصفحة.

جميع التكاملات المتضمنة في الأمثلة أدناه تُقيم باستخدام التكامل بالأجزاء، والمعطى بـ:

\[ \int U \dfrac{dV}{dx} \, dx = UV - \int \dfrac{dU}{dx} V \, dx \]

يُعد التكامل بالأجزاء مفيداً بشكل خاص لتقييم تكاملات حاصل ضرب الدوال من الشكل \( U \dfrac{dV}{dx} \).

ملاحظة: فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل.

أمثلة مع حلول تفصيلية

المثال 1

قيم التكامل:

\[ \int \sin(x) e^x \, dx \]
الحل للمثال 1

ليكن \( u = \sin(x) \) و \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \)، مما يعطي \( u' = \cos(x) \) و \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \).

باستخدام التكامل بالأجزاء:

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \int \cos(x)e^x \, dx \]

طبق التكامل بالأجزاء للمرة الثانية على الحد \( \displaystyle \int \cos(x)e^x \, dx \):

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \left( \cos(x)e^x - \int (-\sin(x))e^x \, dx \right) \] \[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x - \int \sin(x)e^x \, dx \]

بما أن التكامل على الطرف الأيمن هو نفس التكامل الأصلي، يمكننا جمعهما بإضافة \( \int \sin(x)e^x \, dx \) إلى كلا الطرفين:

\[ 2 \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x \]

القسمة على 2 تعطي النتيجة النهائية:

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \dfrac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \]

المثال 2

قيم التكامل:

\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx \]
الحل للمثال 2

ليكن \( u = \cos(2x) \) و \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \)، مما يعطي \( u' = -2\sin(2x) \) و \( v = e^x \).

طبق التكامل بالأجزاء:

\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x - \int e^x (-2\sin(2x)) \, dx \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2 \int e^x \sin(2x) \, dx \end{aligned} \]

طبق التكامل بالأجزاء على التكامل الجديد \( \int e^x \sin(2x) \, dx \) (بوضع \( w = \sin(2x) \) و \( dw/dx = e^x \)):

\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x + 2 \left( \sin(2x)e^x - 2 \int \cos(2x)e^x \, dx \right) \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2\sin(2x)e^x - 4 \int \cos(2x)e^x \, dx \end{aligned} \]

تجميع التكاملات المتطابقة في الطرف الأيسر:

\[ 5 \int \cos(2x)e^x \, dx = e^x (\cos(2x) + 2\sin(2x)) \]

إذن، التكامل هو:

\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx = \dfrac{1}{5} e^x ( \cos(2x) + 2 \sin(2x) ) + C \]

المثال 3

قيم التكامل:

\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx \]
الحل للمثال 3

ليكن \( u = \sin(3x + 2) \) و \( \dfrac{dv}{dx} = e^{3x} \)، مما يعطي \( u' = 3\cos(3x + 2) \) و \( v = \dfrac{1}{3}e^{3x} \).

طبق التكامل بالأجزاء:

\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3}\sin(3x + 2)e^{3x} - \int \cos(3x + 2) \left(\dfrac{1}{3}e^{3x}\right) \, dx \]

طبق التكامل بالأجزاء مرة أخرى على \( \int \cos(3x + 2) e^{3x} \, dx \):

\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - \left( \dfrac{1}{3}\cos(3x + 2)e^{3x} + \int \sin(3x + 2)e^{3x} \, dx \right) \]

تجميع التكاملات:

\[ 2 \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} e^{3x} \left( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) \right) \]

القسمة على 2:

\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{6} e^{3x} ( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) ) + C \]

المثال 4

قيم التكامل:

\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx \]
الحل للمثال 4

ليكن \( u = \cos(4x) \) و \( \dfrac{dv}{dx} = e^{2x + 5} \). بتطبيق التكامل بالأجزاء مرتين:

\[ \begin{aligned} \int \cos(4x)e^{2x + 5} \, dx &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \int e^{2x + 5} \sin(4x) \, dx \\[6pt] &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \left( \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \sin(4x) - 2 \int e^{2x + 5} \cos(4x) \, dx \right) \end{aligned} \]

التبسيط والتجميع:

\[ 5 \int \cos(4x) e^{2x+5} \, dx = \dfrac{1}{2} e^{2x+5} \cos(4x) + e^{2x+5} \sin(4x) \]

القسمة على 5 تعطي الحل النهائي:

\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \dfrac{1}{10} e^{2x + 5} ( \cos(4x) + 2 \sin(4x) ) + C \]

التمارين

قيم التكاملات التالية:

  1. \( \displaystyle \int \cos(x) \, e^x \, dx \)
  2. \( \displaystyle \int \sin(2x) \, e^{3x} \, dx \)
  3. \( \displaystyle \int \cos(-3x + 5) \, e^{5x} \, dx \)
  4. \( \displaystyle \int \sin(-4x + 3) \, e^{-2x + 1} \, dx \)
إجابات التمارين أعلاه
  1. \( \dfrac{1}{2} e^x ( \cos(x) + \sin(x) ) + C \)
  2. \( \dfrac{1}{13} e^{3x} ( 3 \sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C \)
  3. \( \dfrac{1}{34} e^{5x} ( 5 \cos(-3x + 5) - 3 \sin(-3x + 5) ) + C \)
  4. \( \dfrac{1}{10} e^{-2x + 1} ( 2 \cos(-4x + 3) - \sin(-4x + 3) ) + C \)

المزيد من المراجع والروابط