أوجد حجم الكرة باستخدام التكاملات وطريقة الأقراص.
وفيما يلي، \( C \) يمثل ثابت التكامل.
المسألة والاشتقاق
المسألة: أوجد حجم كرة ناتجة عن دوران نصف الدائرة \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) حول محور السينات.
بيان \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) من \( x = -R \) إلى \( x = R \) موضحة أدناه. لتكن \( f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \). يُعطى الحجم بواسطة الصيغة 1 في حجم جسم دوراني:
\[ \large{\text{Volume} = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} \pi (f(x))^2 \, dx}} \]
إعداد التكامل المحدود بحدود من \( -R \) إلى \( R \):
\[ \text{Volume} = \int_{-R}^{R} \pi f(x)^2 \, dx \]
عوض عن \( f(x) \) بتعبيرها \( \sqrt{R^2 - x^2} \):
\[ = \int_{-R}^{R} \pi \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 \, dx \]
بسط:
\[ = \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2) \, dx \]
كامل:
\[ = \pi \left[ R^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R} \]
قيم التكامل:
\[ = \pi \left[ \left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right) \right] = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
هذه هي الصيغة المعروفة لحجم الكرة. يؤدي دوران نصف دائرة نصف قطرها \( R \) حول محور السينات إلى توليد كرة نصف قطرها \( R \).