إيجاد حجم الهرم المربع باستخدام التكاملات

الاشتقاق، الصيغة، والحل خطوة بخطوة باستخدام التكاملات المحدودة

أوجد صيغة حجم الهرم المربع باستخدام التكاملات في التفاضل والتكامل.

وفيما يلي، \( C \) يمثل ثابت التكامل.

المسألة والاشتقاق

المسألة: هرم موضح في الشكل أدناه. قاعدته عبارة عن مربع ضلعه \( a \) وعمودي على محور الصادات. ارتفاع الهرم هو \( H \). استخدم التكاملات وخصائصها لإيجاد حجم الهرم المربع بدلالة \( a \) و \( H \).

الهرم المربع المستخدم في المسألة
الشكل 1. الهرم المربع المستخدم في المسألة

حل المسألة:

لنقم أولاً بوضع الهرم بحيث يكون ضلعان متقابلان لقاعدة المربع عموديين على محور السينات ومركز قاعدته عند نقطة الأصل لنظام محاور س-ص. إذا نظرنا إلى الهرم في اتجاه عمودي على المستوي س-ص، فسوف يبدو كشكل ثنائي الأبعاد كما هو موضح أدناه. \( AC \) هو الارتفاع المائل.

إسقاط الهرم على المستوي س-ص
الشكل 2. إسقاط الهرم على المستوي س-ص

ليكن \( x = A'B' \) هو نصف طول ضلع المربع عند الارتفاع \( y \). تُعطى مساحة \( A \) للمربع عند الارتفاع \( y \) بـ:

\[ A(x) = (2x)^2 \]

يُوجد الحجم بجمع جميع الحجوم \( A \, dy \) التي تكوّن الهرم من \( y = 0 \) إلى \( y = H \). إذن:

\[ \text{Volume} = \int_{0}^{H} A(x) \, dy \]
\[ = 4 \int_{0}^{H} x^2 \, dy \]

نستخدم الآن حقيقة أن المثلثين \( ABC \) و \( AB'C' \) متشابهان وبالتالي فإن أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة لنكتب:

\[ \frac{a/2}{x} = \frac{H}{H - y} \]

نقوم الآن بحل المعادلة أعلاه لإيجاد \( x \) للحصول على:

\[ x = \frac{a (H - y)}{2H} \]

نعوض الآن عن \( x \) في التكامل الذي يعطي الحجم لنحصل على:

\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} (H - y)^2 \, dy \]

لنعرّف المتغير \( t \) بما يلي:

\[ t = H - y \quad \text{و} \quad dt = -dy \]

عوض وغير حدود التكامل لتكتب الحجم على النحو التالي:

\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{H}^{0} t^2 (-dt) \]
\[ = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \int_{0}^{H} t^2 \, dt \]

احسب التكامل وبسط:

\[ \text{Volume} = 4 \left(\frac{a}{2H}\right)^2 \left[\frac{H^3}{3}\right] \]
\[ \Large \displaystyle \boxed{\text{Volume} = \frac{a^2 H}{3}} \]

حجم الهرم المربع يُعطى بمساحة القاعدة مضروبة في ثلث ارتفاع الهرم.

المزيد من المراجع والروابط