يمكن حساب مشتقة الدالة \( \cot(x) \) باستخدام مشتقات \( \sin x \) و \( \cos x \) مع قاعدة القسمة. كما يتم عرض مشتقات دوال ظل التمام المركبة مع أمثلة محلولة.
برهان مشتقة \( \cot(x) \)
باستخدام المتطابقة المثلثية:
\[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \]
وقاعدة القسمة، لدينا:
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{\left(\frac{d}{dx} \cos x\right) \cdot \sin x - \cos x \cdot \left(\frac{d}{dx} \sin x\right)}{\sin^2 x} \]
بالتعويض بـ \( \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \) و \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \):
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{(-\sin x)(\sin x) - \cos x (\cos x)}{\sin^2 x} = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \]
الصيغة:
\[ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x \]
رسم الدالة \( \cot(x) \) ومشتقتها
تُظهر الرسوم البيانية أدناه الدالة \( \cot x \) ومشتقتها. بما أن الدالة \( \cot x \) متناقصة، فإن مشتقتها سالبة في كل مكان.
-and-its-derivative.gif)
مشتقة الدالة المركبة \( \cot(u(x)) \)
باستخدام قاعدة السلسلة:
\[ \frac{d}{dx} \cot(u(x)) = \frac{d}{du}(\cot u) \cdot \frac{du}{dx} = -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \]
صيغة قاعدة السلسلة:
\[ \frac{d}{dx} \cot(u(x)) = -\csc^2(u(x))\,u'(x) \]
أمثلة مع الحلول
أمثلة محلولة: اشتقاق دوال ظل التمام المركبة
أوجد المشتقات:
- \( f(x) = \cot(x^3 - 2x + 2) \)
- \( g(x) = \cot(e^x) \)
- \( h(x) = \cot\left(\frac{-2}{x^3 + 2}\right) \)
الحلول:
-
لتكن \( u = x^3 - 2x + 2 \)، إذن \( u' = 3x^2 - 2 \).
\[ f'(x) = -\csc^2(u) \cdot u' = -(3x^2 - 2)\csc^2(x^3 - 2x + 2) \] -
لتكن \( u = e^x \)، إذن \( u' = e^x \).
\[ g'(x) = -\csc^2(e^x) \cdot e^x = -e^x \csc^2(e^x) \] -
لتكن \( u = \frac{-2}{x^3+2} \). باستخدام قاعدة القسمة أو قاعدة القوة:
\[ u' = \frac{0 - (-2)(3x^2)}{(x^3+2)^2} = \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \]\[ h'(x) = -\csc^2\left(\frac{-2}{x^3+2}\right) \cdot \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} = -\frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \csc^2\left(\frac{2}{x^3+2}\right) \]