What is the derivative of csc(x)?

The derivative of csc(x) with respect to x is -cot(x) * csc(x), proven using the quotient rule on 1/sin(x).

How do you find the derivative of csc(u(x)) using the chain rule?

Using the chain rule, the derivative of csc(u(x)) is -cot(u(x)) * csc(u(x)) * u'(x).

يمكن حساب مشتقة الدالة $ \csc(x) $ باستخدام قاعدة القسمة. كما يتم عرض مشتقات دوال قاطع التمام المركبة مع أمثلة محلولة.

باستخدام المتطابقة المثلثية:

\csc x = \frac{1}{\sin x}

وباستخدام قاعدة القسمة:

\frac{d}{dx}\csc x = \frac{\left(\frac{d}{dx} 1\right) \cdot \sin x - 1 \cdot \left(\frac{d}{dx} \sin x\right)}{\sin^2 x}

بما أن $ \frac{d}{dx} 1 = 0 $ و $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $، نحصل على:

\frac{d}{dx}\csc x = \frac{0 - \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cot x \, \csc x

الصيغة:

\frac{d}{dx}\csc x = -\cot x \, \csc x

تُظهر الرسوم البيانية أدناه الدالة $ \csc x $ ومشتقتها:

\frac{d}{dx} \csc(u(x)) = \frac{d}{du}(\csc u) \cdot \frac{du}{dx} = -\cot u \, \csc u \cdot \frac{du}{dx}

صيغة قاعدة السلسلة:

\frac{d}{dx} \csc(u(x)) = -\cot(u(x)) \, \csc(u(x)) \, u'(x)

أمثلة محلولة: اشتقاق دوال قاطع التمام المركبة

أوجد المشتقات:

الحلول:

لتكن $ u = -x^3 + 3 $، إذن $ u' = -3x^2 $.
$f'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3) \cdot (-3x^2) = 3x^2 \, \cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3)$
لتكن $ u = \cos x $، إذن $ u' = -\sin x $.
$g'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot(\cos x) \, \csc(\cos x) \cdot (-\sin x) = \sin x \, \cot(\cos x) \, \csc(\cos x)$
لتكن $ u = \frac{1}{x^2+1} $، إذن $ u' = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} $.
$h'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \cdot \left(-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\right) = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \, \cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right)$