What is the derivative of sec(x)?

The derivative of sec(x) with respect to x is tan(x) * sec(x), proven using the quotient rule on 1/cos(x).

How do you find the derivative of sec(u(x)) using the chain rule?

Using the chain rule, the derivative of sec(u(x)) is tan(u(x)) * sec(u(x)) * u'(x).

يتم حساب مشتقة الدالة $ \sec(x) $ باستخدام قاعدة القسمة للمشتقات.

المطابقة المثلثية التي تربط بين $ \sec x $ و $ \cos x $ هي:

\sec x = \dfrac{1}{\cos x}

نستخدم قاعدة القسمة في الاشتقاق لإيجاد مشتقة $ \sec x $:

\dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{\cos x}\right) = \dfrac{\left(\dfrac{d}{dx}1\right) \cos x - 1 \left(\dfrac{d}{dx} \cos x\right)}{\cos^2 x}

مشتقة الثابت 1 تساوي صفراً. باستخدام صيغة مشتقة الدالة المثلثية $ \cos x $، وهي $ \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x $، بالتعويض نحصل على:

\dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{0 - (-\sin x)}{\cos^2 x}

تبسيط:

= \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} = \tan x \sec x

الصيغة:

\dfrac{d}{dx} \sec x = \tan x \; \sec x

تُظهر الرسوم البيانية أدناه الدالة $ \sec(x) $ ومشتقتها:

نأخذ الآن في الاعتبار الدالة المركبة قاطع دالة أخرى $ u(x) $. نستخدم قاعدة السلسلة في الاشتقاق لكتابة:

\dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sec u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right)

= \tan u \sec u \dfrac{du}{dx}

صيغة قاعدة السلسلة:

\dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \tan(u(x)) \; \sec(u(x)) \; u'(x)

أمثلة محلولة: اشتقاق دوال القاطع المركبة

أوجد مشتقة دوال القاطع المركبة التالية:

الحلول:

لتكن $ u(x) = x^2 + x - 1 $، إذن $ \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 $.
بتطبيق القاعدة لدالة القاطع المركبة: $f'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = (2x + 1) \, \tan(x^2 + x - 1) \, \sec(x^2 + x - 1)$
لتكن $ u(x) = \sin x $، إذن $ \dfrac{du}{dx} = \cos x $.
بتطبيق القاعدة: $g'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \cos x \, \tan(\sin x) \, \sec(\sin x)$
لتكن $ u(x) = \sqrt{x+2} $، إذن $ \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} $.
بتطبيق القاعدة: $h'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \dfrac{\tan(\sqrt{x+2}) \, \sec(\sqrt{x+2})}{2\sqrt{x+2}}$