What is the derivative of sin(x)?

The derivative of sin(x) with respect to x is cos(x), proven using the limit definition of the derivative and trigonometric angle sum identities.

How do you find the derivative of sin(u(x)) using the chain rule?

Using the chain rule, the derivative of sin(u(x)) is cos(u(x)) * u'(x).

مشتقة sin(x): البرهان، الدوال المركبة وأمثلة خطوة بخطوة

يُقدم برهان مشتقة الدالة $ \sin(x) $ باستخدام تعريف المشتقة. كما يتم عرض مشتقة الدالة المثلثية المركبة للجيب مع أمثلة وحلولها.

البرهان باستخدام تعريف المشتقة لـ $ \sin(x) $

يُعطى تعريف المشتقة $ f' $ للدالة $ f $ كالتالي:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

لتكن $ f(x) = \sin(x) $ ونكتب مشتقة $ \sin(x) $ كنهاية:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}

نستخدم الصيغة $ \sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) $ لإعادة كتابة المشتقة:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}

نعيد كتابة $ f'(x) $ كالتالي:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1) + \cos(x) \sin(h)}{h}

نستخدم النظرية القائلة بأن نهايات مجموع الدوال تساوي مجموع نهايات هذه الدوال:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) \sin(h)}{h}

نخرج الحدود التي لا تعتمد على $ h $ خارج النهاية:

f'(x) = \sin(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h}

نستخدم الآن النهايات المثلثية القياسية التالية:

\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1

(تم برهانها عبر نظرية الإحصار (Squeezing Theorem))

\lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} = 0

(تم برهانها في حساب نهايات الدوال المثلثية)

بالتعويض بهذه النهايات في تعبير $ f'(x) $:

f'(x) = \sin(x)(0) + \cos(x)(1) = \cos(x)

الصيغة:

\dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x

رسم الدالة $ \sin(x) $ ومشتقتها

تُظهر الرسوم البيانية أدناه الدالة $ \sin(x) $ ومشتقتها. لاحظ أن أي قيمة صغرى أو كبرى للدالة $ \sin(x) $ توافق صفراً لمشتقتها $ \cos(x) $. بالإضافة إلى ذلك، على أي فترة تكون فيها الدالة $ \sin(x) $ متزايدة، تكون المشتقة موجبة، وحيث تكون متناقصة، تكون المشتقة سالبة.

مشتقة الدالة المركبة $ \sin(u(x)) $

لننظر في الدالة المركبة جيب دالة أخرى $ u(x) $. نستخدم قاعدة السلسلة في الاشتقاق لنكتب:

\dfrac{d}{dx} \sin(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sin u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right)

= \cos u \dfrac{du}{dx}

صيغة قاعدة السلسلة:

\dfrac{d}{dx} \sin(u(x)) = \cos(u(x)) \, u'(x)

أمثلة مع الحلول

أمثلة محلولة: اشتقاق دوال الجيب المركبة

أوجد مشتقة دوال الجيب المركبة التالية:

$ f(x) = \sin(x^2 - x) $
$ g(x) = \sin(\sin x) $
$ h(x) = \sin \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) $

الحلول:

لتكن $ u(x) = x^2 - x $، إذن $ \dfrac{du}{dx} = 2x - 1 $.
بتطبيق القاعدة لدالة الجيب المركبة: $f'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(x^2 - x) \cdot (2x - 1) = (2x - 1) \cos(x^2 - x)$
لتكن $ u(x) = \sin x $، إذن $ \dfrac{du}{dx} = \cos x $.
بتطبيق القاعدة: $g'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(\sin x) \cdot \cos x = \cos x \cos(\sin x)$
لتكن $ u(x) = \dfrac{1-x}{1+x} $. باستخدام قاعدة القسمة: $\dfrac{du}{dx} = \dfrac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \dfrac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \dfrac{-2}{(1+x)^2}$ بتطبيق القاعدة: $h'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{(1+x)^2}\right) = -\dfrac{2}{(1+x)^2} \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)$

برهان مشتقة الدالة \( \sin(x) \)

البرهان باستخدام تعريف المشتقة لـ \( \sin(x) \)

رسم الدالة \( \sin(x) \) ومشتقتها

مشتقة الدالة المركبة \( \sin(u(x)) \)

أمثلة مع الحلول

المراجع والروابط الإضافية