الصيغ غير المعينة للنهايات

أمثلة، حلول تفصيلية، وتمارين تدريبية باستخدام قاعدة لوبيتال

أمثلة مع حلول تفصيلية وتمارين تحل مسائل النهايات المتعلقة بالصيغ غير المعينة مثل:

\[ \dfrac{\infty}{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^0, \quad 1^\infty, \quad \infty \cdot 0, \quad \infty - \infty \]

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

المبرهنة

تتيح لنا النسخة الثانية من قاعدة لوبيتال استبدال مسألة النهاية:

\[ \dfrac{\infty}{\infty} \]

بمسألة أخرى أبسط لحلها.

إذا كانت \( \lim f(x) = \infty \) و \( \lim g(x) = \infty \) وكانت \( \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) تمتلك قيمة منتهية \( L \)، أو كانت من الشكل \( \infty \) أو \( -\infty \)، إذن:

\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]

فيما سبق، يرمز الرمز \( \lim \) إلى \( \lim_{x \to a} f(x) \) أو \( \lim_{x \to a^+} f(x) \) أو \( \lim_{x \to a^-} f(x) \) أو \( \lim_{x \to \infty} f(x) \) أو \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \).

أمثلة مع حلول تفصيلية

انقر فوق كل مثال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

المثال 1

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} \]
إظهار الحل

بما أن:

\[ \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty \]

و

\[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \]

لدينا الصيغة غير المعينة:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]

يمكن استخدام قاعدة لوبيتال لتقييم مسألة النهاية المعطاة على النحو التالي:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(\ln x)'}{(x)'} \]

احسب المشتقات في البسط والمقام:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1/x}{1} \]

احسب النهايات في البسط والمقام:

\[ \lim_{x \to \infty} (1/x) = 0 \quad \text{و} \quad \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \]

نقيم الآن النهاية المعطاة:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{0}{1} = 0 \]

المثال 2

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} \]
إظهار الحل

لاحظ أن:

\[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \]

و

\[ \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0 \]

هذه هي الصيغة غير المعينة \( \infty \cdot 0 \). الفكرة هي تحويلها إلى الصيغة غير المعينة \( \dfrac{\infty}{\infty} \) واستخدام نظرية لوبيتال. لاحظ أن:

\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]

نطبق قاعدة لوبيتال:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{e^x} = 0 \]

المثال 3

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x \]
إظهار الحل

لاحظ أن \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) = 1 \) والنهاية أعلاه تُعطى بواسطة:

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = 1^\infty \]

وهي من الصيغة غير المعينة \( 1^\infty \). إذا فرضنا \( t = 1 / x \)، يمكن كتابة النهاية أعلاه على النحو التالي:

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to 0^+} (1 + t)^{1/t} \]

لاحظ أنه عندما \( x \to \infty \)، فإن \( t \to 0^+ \).

ليكن \( y = (1 + t)^{1/t} \) وجد نهاية \( \ln y \) عندما يقترب \( t \) من 0:

\[ \ln y = \ln (1 + t)^{1/t} = \dfrac{1}{t} \ln (1 + t) \]

تتمثل ميزة استخدام \( \ln y \) في أن:

\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln (1 + t)}{t} = \dfrac{0}{0} \]

النهاية لها الصيغة غير المعينة \( 0 / 0 \)، ويمكن تطبيق قاعدة لوبيتال الأولى:

\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{(\ln (1 + t))'}{(t)'} = \lim_{t \to 0} \dfrac{1/(1+t)}{1} = 1 \]

بما أن نهاية \( \ln y = 1 \)، فإن نهاية \( y \) هي \( e^1 = e \). وعليه:

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e \]

المثال 4

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) \]
إظهار الحل

لاحظ أن:

\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x}\right) = +\infty \]

و

\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{\sin x}\right) = +\infty \]

هذه النهاية لها الصيغة غير المعينة \( \infty - \infty \) ويجب تحويلها إلى صيغة أخرى عن طريق توحيد الحدود:

\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \dfrac{0}{0} \]

لدينا الآن الصيغة غير المعينة \( 0 / 0 \) ويمكننا استخدام نظرية لوبيتال:

\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\sin x - x)'}{(x \sin x)'} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\cos x - 1}{\sin x + x \cos x} = \dfrac{0}{0} \]

لدينا مرة أخرى الصيغة غير المعينة \( 0 / 0 \) ونستخدم نظرية لوبيتال مرة أخرى:

\[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\cos x - 1)'}{(\sin x + x \cos x)'} \]
\[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{-\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \dfrac{0}{2} = 0 \]

المثال 5

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to 0^+} x^x \]
إظهار الحل

لدينا الصيغة غير المعينة \( 0^0 \). ليكن \( y = x^x \) و \( \ln y = \ln (x^x) = x \ln x \). لنوجد الآن نهاية \( \ln y \):

\[ \lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \cdot \infty \]

النهاية أعلاه لها الصيغة غير المعينة \( 0 \cdot \infty \). نحولها كالتالي:

\[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]

أصبحت الآن بالصيغة غير المعينة \( \dfrac{\infty}{\infty} \) ويمكننا استخدام نظرية لوبيتال:

\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\ln x)'}{(1/x)'} \]
\[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} \]
\[ = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \]

نهاية \( \ln y = 0 \)، لذا فإن نهاية \( y = x^x \) تساوي:

\[ \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1 \]

التمارين

احسب النهايات التالية. انقر فوق كل تمرين للتحقق من إجاباتك.

التمرين 1

\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x)^{1/x} \)

إظهار الإجابة
\[ 1 \]

التمرين 2

\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x - \ln (1 + x)) \)

إظهار الإجابة
\[ 0 \]

التمرين 3

\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} \)

إظهار الإجابة
\[ 0 \]

التمرين 4

\( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} \)

إظهار الإجابة
\[ 1 \]

مزيد من الروابط حول النهايات