مجموعة من أسئلة التفاضل والتكامل 1 مع حلولها التفصيلية للتدرب على الاختبارات، الامتحانات، امتحانات التحديد، وما إلى ذلك، ولتكوين فهم عميق للمواضيع الأساسية التالية:
- الدوال (Functions)
- النهايات (Limits)
- الاتصال (Continuity)
- المشتقات (Derivatives)
- تطبيقات المشتقات (Applications of Derivatives)
تم تصميم الأسئلة لتغطية أهم الموضوعات في التفاضل والتكامل 1، ويتضمن كل سؤال حلاً تفصيلياً قابلاً للطي.
فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.
الأسئلة التدريبية والحلول التفصيلية
انقر على كل زر حل لعرض التفصيل خطوة بخطوة.
-
السؤال 1
أوجد مجال الدالة:\[ f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{4 - x^2}} \]عرض حل السؤال 1
لكي تأخذ الدالة \( f \) قيمًا حقيقية، يجب أن يكون التعبير الموجود تحت الجذر في البسط غير سالب، وأن يكون التعبير الموجود تحت الجذر في المقام موجبًا. نحل المتباينات:
\[ x - 1 \ge 0 \quad \text{and} \quad 4 - x^2 > 0 \]مجموعتا الحل للمتباينتين الأولى والثانية هما على التوالي:
\[ x \ge 1 \quad \text{and} \quad -2 < x < 2 \]يجب استيفاء كلا الشرطين في نفس الوقت. لذلك، فإن المجال (domain) هو تقاطع هاتين المجموعتين:
\[ 1 \le x < 2 \] -
السؤال 2
أوجد مدى الدالة:\[ f(x) = \frac{x - 1}{2 - 3x} \]عرض حل السؤال 2
وفقًا لـ خصائص الدوال العكسية، فإن مدى (range) الدالة \( f \) هو مجال دالتها العكسية.
أولاً، أثبت أن \( f \) دالة تقابلية (one-to-one function) بافتراض أن \( f(a) = f(b) \) وإظهار أن \( a = b \):
\[ \frac{a - 1}{2 - 3a} = \frac{b - 1}{2 - 3b} \]الضرب التبادلي والتبسيط يعطي \( a = b \)، مما يثبت إمكانية إيجاد العكس. لإيجاد الدالة العكسية، نبدأ بـ:
\[ y = \frac{x - 1}{2 - 3x} \implies 2y - 3xy = x - 1 \implies x = \frac{2y + 1}{3y + 1} \]تبديل \( x \) و \( y \) يمنحنا الدالة العكسية:
\[ f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{3x + 1} \]مجال \( f^{-1} \) يستثني \( x = -\dfrac{1}{3} \). لذلك، فإن مدى \( f \) باسترشاد الفترة هو:
\[ \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right) \] -
السؤال 3
أوجد الدالة العكسية للدالة:\[ f(x) = \ln(2x - 3) + 2 \]عرض حل السؤال 3
اكتب الدالة كمعادلة وحل من أجل \( x \):
\[ y = \ln(2x - 3) + 2 \] \[ y - 2 = \ln(2x - 3) \] \[ e^{y - 2} = 2x - 3 \implies 2x = e^{y - 2} + 3 \implies x = \frac{1}{2}\left(e^{y - 2} + 3\right) \]تبديل \( x \) و \( y \) يمنحنا الدالة العكسية:
\[ f^{-1}(x) = \frac{1}{2}\left(e^{x - 2} + 3\right) \] -
السؤال 4
احسب كل من النهايات التالية:- أ) \( \displaystyle \lim_{x \to 16} \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}}{x - 16} \)
- ب) \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^3 + 2x - 1}{x^4 - 3x^3 + 9} \)
- ج) \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{3}{x}\right) \)
- د) \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) + x}{2x^2 + x} \)
- هـ) \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x) + 1}{x} \)
عرض حل السؤال 4
أ) النهاية هي صيغة غير معينة من الشكل \( \dfrac{0}{0} \). اضرب البسط والمقام في مرافق البسط:
\[ \lim_{x \to 16} \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}}{x - 16} = \lim_{x \to 16} \frac{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \lim_{x \to 16} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{16}}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} \] \[ = \lim_{x \to 16} \frac{\frac{16 - x}{16x}}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \lim_{x \to 16} \frac{-1}{16x\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \frac{-1}{16(16)\left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{128} \]ب) النهاية من الشكل \( \dfrac{\infty}{\infty} \). اقسم جميع الحدود على أعلى قوة \( x^4 \):
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^3 + 2x - 1}{x^4 - 3x^3 + 9} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac{1}{x} + \frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^4}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{9}{x^4}} = \frac{0}{1} = 0 \]ج) صيغة غير معينة \( \infty \cdot 0 \). لتكن \( t = \dfrac{3}{x} \):
\[ \lim_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{3}{x}\right) = \lim_{t \to 0} 3 \frac{\sin(t)}{t} = 3 \times 1 = 3 \]د) صيغة غير معينة \( \dfrac{0}{0} \). طبق قاعدة لوبيتال (L'Hôpital's Rule):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) + x}{2x^2 + x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) + 1}{4x + 1} = \frac{\cos(0) + 1}{0 + 1} = 2 \]هـ) بما أن \( -1 \le \sin(x) \le 1 \)، فإن إضافة 1 تعطي \( 0 \le \sin(x) + 1 \le 2 \). بالقسمة على \( x > 0 \):
\[ 0 \le \frac{\sin(x) + 1}{x} \le \frac{2}{x} \]وفقًا لـ نظرية الحصر (Squeeze Theorem)، وبما أن نهايتي الحدين تساوي 0، فإن النهاية تقيم إلى \( 0 \).
-
السؤال 5
أ) ارسم \( y = e^{x-1} \) و \( y = x \) في نفس نظام الإحداثيات، وبين أن المنحنيات متماسان عند النقطة \( (1, 1) \)، وتحقق من أن \( e^{x-1} \ge x \).
ب) استخدم النتيجة من الجزء أ) لتحديد تقعر الدالة \( f(x) = \dfrac{x^3}{6} - e^{x-1} \) وأي نقاط انقلاب.عرض حل السؤال 5
أ) مشتقة الدالة \( y = e^{x-1} \) هي \( y' = e^{x-1} \). عند \( x = 1 \)، الميل \( m = e^{1-1} = 1 \). خط المماس عند النقطة \( (1, 1) \) هو \( y - 1 = 1(x - 1) \implies y = x \). إذن، المنحنيان متماسان عند \( (1, 1) \) و \( e^{x-1} \ge x \).
الشكل 2. رسوم بيانية لـ \( y = e^{x-1} \) و \( y = x \) ب) معطى \( f(x) = \dfrac{x^3}{6} - e^{x-1} \)، المشتقات هي:
\[ f'(x) = \frac{x^2}{2} - e^{x-1}, \quad f''(x) = x - e^{x-1} \]بما أن \( e^{x-1} \ge x \implies x - e^{x-1} \le 0 \)، فإن \( f''(x) \le 0 \) في كل مكان (مع المساواة عند \( x = 1 \)). إذن، الدالة \( f(x) \) مقعرة لأسفل (concave down) على الفترة \( (-\infty, +\infty) \) وليس لها نقاط انقلاب لأن \( f'' \) لا تغير إشارتها.
-
السؤال 6
أوجد مشتقة الدوال التالية (لا تبسط الناتج النهائي):- أ) \( f(x) = e^{x-1} + \ln(3x - 1) + \sin(2x + 1) \)
- ب) \( g(x) = (2x - 1)^2(\tan(x) - 1) \)
- ج) \( h(x) = \dfrac{x - \cos(x)}{x^2 - 2x + 1} \)
- د) \( m(x) = \sin\left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2}\right) \)
- هـ) \( n(x) = 3^{2x+3} + \log_3(2x - 1) \)
عرض حل السؤال 6
أ) قاعدة المجموع: \( f'(x) = e^{x-1} + \dfrac{3}{3x - 1} + 2\cos(2x + 1) \)
ب) قاعدة الضرب: \( g'(x) = 4(2x - 1)(\tan(x) - 1) + (2x - 1)^2\sec^2(x) \)
ج) قاعدة القسمة: \( h'(x) = \dfrac{(1 + \sin(x))(x^2 - 2x + 1) - (x - \cos(x))(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 1)^2} \)
د) قاعدة السلسلة: \( m'(x) = \cos\left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2}\right) \cdot \frac{1}{2}\left(3x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 - \dfrac{1}{x} + 2\right)^{-1/2} \)
هـ) إعادة كتابة الأساسات: \( n(x) = e^{(2x+3)\ln 3} + \dfrac{\ln(2x-1)}{\ln 3} \implies n'(x) = (2\ln 3)3^{2x+3} + \dfrac{2}{\ln 3(2x - 1)} \)
-
السؤال 7
أوجد معادلة خط المماس للمنحنى المعطى بواسطة \( \sin(y^2) = x^2 \) عند النقطة \( (0, \sqrt{\pi}) \).عرض حل السؤال 7
بالاشتقاق الضمني بالنسبة إلى \( x \):
\[ 2y \frac{dy}{dx}\cos(y^2) = 2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y\cos(y^2)} \]بالتعويض عند النقطة \( (0, \sqrt{\pi}) \):
\[ m = \frac{0}{\sqrt{\pi}\cos(\pi)} = 0 \]معادلة خط المماس الأفقي هي:
\[ y = \sqrt{\pi} \] -
السؤال 8
أوجد الثابتين \( a \) و \( b \) بحيث تكون الدالة \( f \) متصلة على الفترة \( (-\infty, +\infty) \):\[ f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & x \le 1 \\ ax^3 + b & 1 < x < 2 \\ x + 2b & x \ge 2 \end{cases} \]عرض حل السؤال 8
الاتصال عند \( x = 1 \):
\[ \lim_{x \to 1^-} (2x - 1) = 1, \quad \lim_{x \to 1^+} (ax^3 + b) = a + b \implies a + b = 1 \quad \text{(Eq. 1)} \]الاتصال عند \( x = 2 \):
\[ \lim_{x \to 2^-} (ax^3 + b) = 8a + b, \quad \lim_{x \to 2^+} (x + 2b) = 2 + 2b \implies 8a + b = 2 + 2b \quad \text{(Eq. 2)} \]حل المعادلتين (1) و (2) معاً ينتج عنه:
\[ a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{2}{3} \] -
السؤال 9
أوجد معادلة خط المماس للمنحنى المعطى بواسطة \( y = x + \sin(x) \) عند \( x = 0 \).عرض حل السؤال 9
المشتقة: \( y' = 1 + \cos(x) \). الميل عند \( x = 0 \) هو \( m = 1 + \cos(0) = 2 \).
نقطة التماس: \( P(0, 0 + \sin(0)) = (0, 0) \).
معادلة خط المماس: \( y - 0 = 2(x - 0) \implies y = 2x \).
-
السؤال 10
استخدم تعريف المشتقة كهاية لإيجاد \( f'(x) \) حيث \( f(x) = \sqrt{x + 2} \).عرض حل السؤال 10
باستخدام تعريف النهاية للمشتقة:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 2} - \sqrt{x + 2}}{h} \]اضرب في المرافق:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h + 2) - (x + 2)}{h\left(\sqrt{x + h + 2} + \sqrt{x + 2}\right)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 2} + \sqrt{x + 2}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} \] -
السؤال 11
حدد الفترة (أو الفترات) التي تكون فيها الدالة \( f(x) = e^x(x^2 - 5x + 8) + \dfrac{x^4}{12} - \dfrac{x^3}{6} \) مقعرة لأعلى ومقعرة لأسفل، وحدد أي نقاط انقلاب.عرض حل السؤال 11
المشتقة الأولى: \( f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 3) + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} \).
المشتقة الثانية: \( f''(x) = e^x(x^2 - x) + x^2 - x = x(x - 1)e^x \).
أصفار المشتقة الثانية \( f'' \) هي \( x = 0 \) و \( x = 1 \). باختبار الفترات:
- الفترة \( (-\infty, 0) \): \( f''(-1) > 0 \) (مقعرة لأعلى)
- الفترة \( (0, 1) \): \( f''(1/2) < 0 \) (مقعرة لأسفل)
- الفترة \( (1, +\infty) \): \( f''(2) > 0 \) (مقعرة لأعلى)
تحدث نقاط الانقلاب عند \( x = 0 \) و \( x = 1 \).
-
السؤال 12
استخدم طريقة نيوتن مع تقريب إبیتدائي \( x_1 = 2 \) لإيجاد تقريب ثانٍ لحل المعادلة \( e^x = x^3 \).عرض حل السؤال 12
لتكن \( f(x) = e^x - x^3 = 0 \). إذن \( f'(x) = e^x - 3x^2 \).
باستخدام خوارزمية نيوتن \( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) مع \( x_1 = 2 \):
\[ x_2 = 2 - \frac{e^2 - 2^3}{e^2 - 3(2^2)} \approx 1.87 \] -
السؤال 13
أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة \( f(x) = x^4 - x^3 \) على الفترة \( [0, 5] \).عرض حل السؤال 13
المشتقة: \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 = x^2(4x - 3) \). النقاط الحرجة هي \( x = 0 \) و \( x = 3/4 \).
بالتعويض عند الأطراف والنقاط الحرجة على الفترة \( [0, 5] \):
\[ f(0) = 0, \quad f(5) = 500, \quad f(3/4) = -\frac{27}{256} \]القيمة العظمى المطلقة هي \( 500 \) عند \( x = 5 \)، والقيمة الصغرى المطلقة هي \( -\dfrac{27}{256} \) عند \( x = 3/4 \).
-
السؤال 14
إذا كانت أبعاد صندوق مستطيل \( L \) و \( W \) و \( H \) تتغير بمعدلات \( \dfrac{dL}{dt} = 0.1 \; \text{cm/sec} \) و \( \dfrac{dW}{dt} = -0.2 \; \text{cm/sec} \) و \( \dfrac{dH}{dt} = 0.3 \; \text{cm/sec} \)، فبأي معدل يتغير حجم الصندوق عندما \( L = 20 \; \text{cm} \) و \( W = 8 \; \text{cm} \) و \( H = 5 \; \text{cm} \)؟عرض حل السؤال 14
صيغة الحجم: \( V = LWH \). بالاشتقاق بالنسبة للزمن \( t \):
\[ \frac{dV}{dt} = WH\frac{dL}{dt} + LH\frac{dW}{dt} + LW\frac{dH}{dt} \]بالتعويض بالقيم المعطاة (\( L = 20, W = 8, H = 5, \dfrac{dL}{dt} = 0.1, \dfrac{dW}{dt} = -0.2, \dfrac{dH}{dt} = 0.3 \)):
\[ \frac{dV}{dt} = (8)(5)(0.1) + (20)(5)(-0.2) + (20)(8)(0.3) = 32 \; \text{cm}^3/\text{sec} \] -
السؤال 15
ما هي أبعاد المستطيل ذي المساحة الأكبر الذي يمكن محاصرته داخل نصف دائرة نصف قطرها 3؟
الشكل 1. مستطيل محصور في نصف دائرة عرض حل السؤال 15
معادلة الدائرة: \( x^2 + y^2 = 9 \implies y = \sqrt{9 - x^2} \). أبعاد المستطيل: \( L = 2x \) و \( W = \sqrt{9 - x^2} \).
دالة المساحة: \( A(x) = 2x\sqrt{9 - x^2} \) لـ \( 0 \le x \le 3 \).
الشكل 3. مخطط الحل للمستطيل المحصور المشتقة: \( A'(x) = \dfrac{2(-2x^2 + 9)}{\sqrt{9 - x^2}} \). تعيين \( A'(x) = 0 \) يعطي النقطة الحرجة \( x = \sqrt{4.5} \).
التقييم يعطي المساحة القصوى عند \( x = \sqrt{4.5} \)، مما يؤدي إلى الأبعاد:
\[ L = 2\sqrt{4.5} \approx 4.24, \quad W = \sqrt{9 - 4.5} \approx 2.12 \]