ما هو الجذر في الرياضيات؟

الجذر هو العملية الرياضية العكسية للأس. على سبيل المثال، الجذر التربيعي (جذر بدليل 2) يلغي عملية تربيع العدد.

ما هو المجذور؟

المجذور هو العدد أو التعبير الموجود داخل رمز الجذر.

هل تلغي الجذور والأسس بعضها بعضاً؟

نعم، الجذر والقوة التي لها نفس الدليل يلغي كل منهما الآخر. تطبيق العمليتين تباعاً يعيد القيمة الأصلية المدخلة.

ما هي الجذور في الرياضيات؟ التعريفات وأسئلة التدريب

فهم القوة $n$

لفهم الجذور، نحتاج أولاً إلى مراجعة القوى (أو الأسس). لنفترض أن عملية القوة $2$ ممثلة بالرسم أدناه:

المزيد من الأمثلة على عملية القوة $2$:

المدخل = $4$ $\implies$ المخرج = $4^2 = 4 \times 4 = 16$
المدخل = $10$ $\implies$ المخرج = $10^2 = 10 \times 10 = 100$

وبالمثل، يمثل الرسم أدناه عملية القوة $3$:

المزيد من الأمثلة على عملية القوة $3$:

المدخل = $3$ $\implies$ المخرج = $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
المدخل = $1$ $\implies$ المخرج = $1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
المدخل = $4$ $\implies$ المخرج = $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$

القوة العامة لـ $n$:

\[a^n = a \times a \times a \dots \times a \quad \text{(مضروب في نفسه } n \text{ من المرات)\]

تعريف الجذور

1. جذر بدليل 2 (الجذر التربيعي)

الجذر التربيعي هو العملية العكسية للقوة $2$. نقوم بتبديل المدخل والمخرج. على سبيل المثال، إذا كان المدخل $9$، فإن مخرج العملية العكسية هو $3$.

رسم توضيحي يوضح عملية الجذر بدليل 2 (الجذر التربيعي)

نكتب ذلك على النحو التالي:

\[\sqrt[2]{9} = 3 \quad \text{لأن} \quad 9 = 3^2\]

المدخل = $16$ $\implies$ المخرج = $\sqrt{16} = 4$ $\text{(لأن } 4^2 = 16\text{)}$
المدخل = $25$ $\implies$ المخرج = $\sqrt{25} = 5$ $\text{(لأن } 5^2 = 25\text{)}$

المصطلحات: الرمز $\sqrt{\phantom{x}}$ هو الجذر. العدد $2$ هو الدليل. العدد الموجود داخل الجذر هو المجذور.

رسم توضيحي يحدد رمز الجذر، والمجذور، والدليل

ملاحظة: حسب الاصطلاح، يُكتب الجذر الذي دليله $2$ (الجذر التربيعي) بدون الرقم $2$. نكتفي بكتابة $\sqrt{\phantom{x}}$.

2. جذر بدليل 3 (الجذر التكعيبي)

تسمى العملية العكسية لعملية القوة $3$ بـ الجذر التكعيبي.

رسم توضيحي يوضح عملية الجذر بدليل 3 (الجذر التكعيبي)

نكتب ذلك على النحو التالي:

\[\sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{لأن} \quad 8 = 2^3\]

المدخل = $27$ $\implies$ المخرج = $\sqrt[3]{27} = 3$ $\text{(لأن } 3^3 = 27\text{)}$
المدخل = $125$ $\implies$ المخرج = $\sqrt[3]{125} = 5$ $\text{(لأن } 5^3 = 125\text{)}$

3. الجذر العام بدليل $n$ (الجذر النوني)

يمكننا تعميم الجذور بأي دليل $n$ (حيث $n$ عدد صحيح أكبر من 0):

\[\text{إذا كان } y = a^n، \text{ فإن } \sqrt[n]{y} = a\]

المزيد من الأمثلة:

$y = 3^5 = 243$، إذن $\sqrt[5]{243} = 3$
$y = 10^6 = 1,000,000$، إذن $\sqrt[6]{1,000,000} = 10$
$y = (-2)^3 = -8$، إذن $\sqrt[3]{-8} = -2$
$y = 1^{20} = 1$، إذن $\sqrt[20]{1} = 1$ (بشكل عام، $\sqrt[n]{1} = 1$)
$y = 0^9 = 0$، إذن $\sqrt[9]{0} = 0$ (بشكل عام، $\sqrt[n]{0} = 0$)

قيد مهم: هذه العلاقات ليست صحيحة في الأعداد الحقيقية إذا كان $n$ عدداً صحيحاً زوجياً وكان $y$ سالباً.

$\sqrt{-16}$ غير معرف في الأعداد الحقيقية لعدم وجود عدد حقيقي $x$ بحيث يكون $x^2 = -16$. (مربع العدد الحقيقي يكون دائماً موجباً أو صفراً).
$\sqrt[4]{-1}$ غير معرف في الأعداد الحقيقية للسبب نفسه.

الجذور والأسس تلغي بعضها بعضاً

تلغي الجذور وعمليات القوى التي لها نفس الدليل بعضها بعضاً. وباعتبارها عمليات عكسية، فإن تطبيق العمليتين تباعاً يعيد القيمة الأصلية المدخلة.

مثال: الجذر التربيعي يلغي القوة $2$

رسم يوضح أن أخذ الجذر التربيعي لعدد مربع يعيد العدد الأصلي

مكتوب رياضياً: \[\sqrt{3^2} = 3\]

مثال: القوة $2$ تلغي الجذر التربيعي

رسم يوضح أن تربيع الجذر التربيعي يعيد العدد الأصلي

مكتوب رياضياً: \[(\sqrt{9})^2 = 9\]

المزيد من الأمثلة:

$(\sqrt{12})^2 = 12$
$\sqrt{8^2} = 8$
$(\sqrt[3]{5})^3 = 5$
$(\sqrt[3]{10})^3 = 10$

بشكل عام، بالنسبة لـ $a \ge 0$، يمكننا كتابة:

\[\sqrt[n]{a^n} = a \quad \text{و} \quad (\sqrt[n]{a})^n = a\]

أسئلة تدريبية

ملاحظة: لا تستخدم الآلة الحاسبة للإجابة على الأسئلة التالية.

بالتأسيس على القوى التالية:
$2^6 = 64$, $\; 3^5 = 243$, $\; 5^3 = 125$, $\; 0^7 = 0$, $\; 1^{20} = 1$, $\; 2^9 = 512$, $\; 5^5 = 3125$, $\; 10^5 = 100000$, $\; 0.1^3 = 0.001\)

أوجد القيم الدقيقة للجذور التالية:
$\sqrt[9]{512}$, $\; \sqrt[5]{3125}$, $\; \sqrt[5]{243}$, $\; \sqrt[6]{64}$, $\; \sqrt[3]{0.001}$, $\; \sqrt[20]{1}$, $\; \sqrt[5]{100000}$, $\; \sqrt[7]{0}$, $\; \sqrt[3]{125}\)
عرض الحل
- $\sqrt[9]{512} = \mathbf{2}$ $\quad$ (لأن $2^9 = 512$)
- $\sqrt[5]{3125} = \mathbf{5}$ $\quad$ (لأن $5^5 = 3125$)
- $\sqrt[5]{243} = \mathbf{3}$ $\quad$ (لأن $3^5 = 243$)
- $\sqrt[6]{64} = \mathbf{2}$ $\quad$ (لأن $2^6 = 64$)
- $\sqrt[3]{0.001} = \mathbf{0.1}$ $\quad$ (لأن $0.1^3 = 0.001$)
- $\sqrt[20]{1} = \mathbf{1}$ $\quad$ (لأن $1^{20} = 1$. ملاحظة: $\sqrt[n]{1} = 1$ لأي $n > 0$)
- $\sqrt[5]{100000} = \mathbf{10}$ $\quad$ (لأن $10^5 = 100000$)
- $\sqrt[7]{0} = \mathbf{0}$ $\quad$ (لأن $0^7 = 0$. ملاحظة: $\sqrt[n]{0} = 0$ لأي $n > 0$)
- $\sqrt[3]{125} = \mathbf{5}$ $\quad$ (لأن $5^3 = 125$)
بالتأسيس على الجذور التالية:
$\sqrt{64} = 8$, $\; \sqrt[5]{7776} = 6$, $\; \sqrt[3]{1000} = 10$, $\; \sqrt[7]{128} = 2$, $\; \sqrt[7]{0.0000001} = 0.1$, $\; \sqrt{10000} = 100$, $\; \sqrt[4]{20736} = 12$, $\; \sqrt[9]{512} = 2\)

أوجد قيم القوى التالية:
$2^7$, $\; 0.1^7$, $\; 6^5$, $\; 8^2$, $\; 2^9$, $\; 12^4$, $\; 10^3$, $\; 100^2\)
عرض الحل
- $2^7 = \mathbf{128}$ $\quad$ (لأن $\sqrt[7]{128} = 2$)
- $0.1^7 = \mathbf{0.0000001}$ $\quad$ (لأن $\sqrt[7]{0.0000001} = 0.1$)
- $6^5 = \mathbf{7776}$ $\quad$ (لأن $\sqrt[5]{7776} = 6$)
- $8^2 = \mathbf{64}$ $\quad$ (لأن $\sqrt{64} = 8$)
- $2^9 = \mathbf{512}$ $\quad$ (لأن $\sqrt[9]{512} = 2$)
- $12^4 = \mathbf{20736}$ $\quad$ (لأن $\sqrt[4]{20736} = 12$)
- $10^3 = \mathbf{1000}$ $\quad$ (لأن $\sqrt[3]{1000} = 10$)
- $100^2 = \mathbf{10000}$ $\quad$ (لأن $\sqrt{10000} = 100$)
بسّط التعبيرات التالية:
$\sqrt{5^2}$, $\; (\sqrt[5]{3})^5$, $\; \sqrt[3]{10^3}$, $\; (\sqrt[7]{128})^7\)
عرض الحل
- $\sqrt{5^2} = \mathbf{5}$ $\quad$ (لأن الجذر التربيعي والقوة $2$ يلغي كل منهما الآخر)
- $(\sqrt[5]{3})^5 = \mathbf{3}$ $\quad$ (لأن الجذر من الدليل $5$ والقوة $5$ يلغي كل منهما الآخر)
- $\sqrt[3]{10^3} = \mathbf{10}$ $\quad$ (لأن الجذر التكعيبي والقوة $3$ يلغي كل منهما الآخر)
- $(\sqrt[7]{128})^7 = \mathbf{128}$ $\quad$ (لأن الجذر من الدليل $7$ والقوة $7$ يلغي كل منهما الآخر)

ما هي الجذور في الرياضيات؟