关于如何求 \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) 的一阶导数并在 \( x \in \mathbb{R} \) 时绘制 \( f \) 和 \( f' \) 图象的微积分教程。
\( \cos(x) \) 与 \( \arccos(\cos(x)) \) 的图象
由于 \( f \) 的定义域为 \( \mathbb{R} \) 且 \( \cos(x) \) 是周期函数，因此 \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) 也是一个周期函数。
当 \( x \) 从 \( 0 \) 增至 \( \pi \) 时，\( \cos(x) \) 从 \( 1 \) 减至 \( -1 \)，而 \( \arccos(\cos(x)) \) 从 \( 0 \) 增至 \( \pi \)。事实上，对于 \( x \in [0, \pi] \)，\( \arccos(\cos(x)) = x \)。当 \( x \) 从 \( \pi \) 增至 \( 2\pi \) 时，\( \cos(x) \) 从 \( -1 \) 增至 \( 1 \)，而 \( \arccos(\cos(x)) \) 从 \( \pi \) 减至 \( 0 \)。
由于 \( \cos(x) \) 的周期为 \( 2\pi \)，\( \arccos(\cos(x)) \) 的周期也是 \( 2\pi \)。下图展示了 \( 0 \) 到 \( 2\pi \) 区间内 \( \arccos(\cos(x)) \) 和 \( \sin(x) \) 的图象。
下图展示了 \( \arccos(\cos(x)) \) 和 \( \cos(x) \) 在 3 个周期内的图象。
\( f \) 的定义域： \( (-\infty, +\infty) \)
\( f \) 的值域： \( [0, \pi] \)
\( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) 的导数及其图象
\( f(x) \) 是一个复合函数，其导数使用链式法则计算如下。令 \( u = \cos(x) \)，因此 \( f(x) = \arccos(u(x)) \)。
应用微分链式法则：
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arccos(u))}{du} = (-\sin(x)) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\right) \]代入 \( u = \cos(x) \)：
\[ f'(x) = \sin(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}} \]化简：
下方展示了红色的 \( \arccos(\cos(x)) \) 及其蓝色的导数。注意，对于使 \( \sin(x) = 0 \) 的 \( x \) 值（即 \( x = k\pi \)，其中 \( k \) 为整数），该导数未定义。对于这些相同的 \( x \) 值，\( \arccos(\cos(x)) \) 具有等于 \( \pi \) 的最大值或等于 \( 0 \) 的最小值。
请注意，尽管 \( \arccos(\cos(x)) \) 对所有 \( x \) 值都是连续的，但其导数在 \( x = k\pi \) 处未定义。
