提供带详细解答的隐函数求导例题。
隐函数求导详解
当我们显式地给出关于 \( x \) 的函数 \( y \) 时，我们使用求导的规则和公式来求导数 \( \dfrac{dy}{dx} \)。例如，我们知道如果 \( y = 2x^3 - 2x + 1 \)，如何求 \( \dfrac{dy}{dx} \)。
然而在其他一些情况下，给出的不是显式函数，而是一个包含 \( y \) 和 \( x \) 项的方程，并要求我们求 \( \dfrac{dy}{dx} \)。例如，给定一个关联 \( y \) 和 \( x \) 的方程：\( xy + y^2 = 1 \)，并要求求 \( \dfrac{dy}{dx} \)。
隐函数求导的核心思想是：对给定方程的两边关于 \( x \) 求导，然后解出新方程以求出 \( \dfrac{dy}{dx} \)。
隐函数求导例题
例题 1
利用隐函数求导求导数 \( \dfrac{dy}{dx} \)，其中 \( yx + \sin y = 1 \)
例题 1 解答
对给定方程的两边求导，并使用求导的和法则：
\[ \dfrac{d}{dx}[xy] + \dfrac{d}{dx}[\sin y] = \dfrac{d}{dx}[1] \]对每一项求导：对于 \( \dfrac{d}{dx}[xy] \) 使用乘积法则，对于 \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \) 使用链式法则：
\[ x \dfrac{dy}{dx} + y + \dfrac{dy}{dx} \cos(y) = 0 \]注意：在计算 \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \) 时，由于 \( y \) 本身是 \( x \) 的函数，因此我们使用了链式法则。
解出 \( \dfrac{dy}{dx} \)：
\[ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x + \cos y} \]例题 2
利用隐函数求导求导数 \( \dfrac{dy}{dx} \)，其中 \( y^{4} + xy^{2} + x = 3 \)
例题 2 解答
在给定方程的左侧使用和的求导公式：
\[ \dfrac{d[y^{4}]}{dx} + \dfrac{d[xy^{2}]}{dx} + \dfrac{d[x]}{dx} = \dfrac{d[3]}{dx} \]使用幂法则、乘积法则和链式法则对每一项求导：
\[ 4y^{3} \dfrac{dy}{dx} + (1)y^{2} + x(2y \dfrac{dy}{dx}) + 1 = 0 \]解出 \( \dfrac{dy}{dx} \)：
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1 - y^{2}}{4y^{3} + 2xy} \]例题 3
求方程图象上的所有点：
\[ x^{2} + y^{2} = 4 \]在这些点处，切线平行于直线 \( x + y = 2 \)
例题 3 解答
将给定直线 \( x + y = 2 \) 改写为斜截式：\( y = -x + 2 \)，并确定其斜率为 \( m = -1 \)。切线与该直线平行，因此它们的斜率也等于 \( -1 \)。曲线上某点处切线的斜率可以通过对 \( x^{2} + y^{2} = 4 \) 进行隐函数求导来求得：
\[ 2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \]设 \( P(a, b) \) 为切点。在点 \( P \) 处，斜率为 \( -1 \)。在上述方程中，将 \( x \) 替换为 \( a \)，\( y \) 替换为 \( b \)，\( \dfrac{dy}{dx} \) 替换为 \( -1 \)，我们得到：
\[ 2a + 2b(-1) = 0 \implies 2a = 2b \implies a = b \]点 \( P(a, b) \) 在 \( x^{2} + y^{2} = 4 \) 的图象上，因此：
\[ a^{2} + b^{2} = 4 \]将 \( a = b \) 代入 \( a^2 + b^2 = 4 \) 中：
\[ 2a^2 = 4 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm\sqrt{2} \]因此，我们得到两个点：
\[ (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}) \quad \text{和} \quad (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \]练习题
对下列每个方程，利用隐函数求导求出 \( \dfrac{dy}{dx} \)：
- \( xe^{y} = 3 \)
- \( x^{2} + y^{2} = 20 \)
- \( x \sin(xy) = x \)
上述练习题的解答
- \( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x} \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y} \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - \sin(xy) - xy \cos(xy)}{x^{2} \cos(xy)} \)