介绍了求导乘积法则的证明步骤，以及相关的例题、练习题和解答。
两个函数乘积的导数（证明）
函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \) 定义为：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad (1) \]设函数 \( f(x) \) 为两个函数 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 的乘积，记作：
\[ f(x) = u(x)v(x) \]利用 (1) 中的导数定义，\( f(x) = u(x)v(x) \) 的导数由下式给出：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (2) \]在 (2) 的分子中减去并加上相同的项（\( u(x)v(x+h) \)），其值保持不变：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h)}{h} \qquad (3) \]将分式拆分为两部分：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \right) \qquad (4) \]根据极限的性质，和的极限等于极限的和：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (5) \]利用因式分解重写各项：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ v(x+h) \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right] + \lim_{h \to 0} \left[ u(x) \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right] \qquad (6) \]由于乘积的极限等于极限的乘积：
\[ f'(x) = \left( \lim_{h \to 0} v(x+h) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right) + \left( \lim_{h \to 0} u(x) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right) \qquad (7) \]求各个单独的极限：
- \( \lim_{h \to 0} v(x+h) = v(x) \)
- \( \lim_{h \to 0} u(x) = u(x) \)
- \( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} = u'(x) \)（根据定义 1）
- \( \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} = v'(x) \)（根据定义 1）
将这些极限代回 (7) 中得到：
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]经典例题与解答
例题 1
求下列函数的导数：
a) \( f(x) = x \ln(x) \) b) \( g(x) = \sin(x)e^x \)
例题 1 解答
a) 令 \( u(x) = x \) 且 \( v(x) = \ln x \)。写为 \( f(x) = u(x)v(x) \)。
使用乘积法则公式 (I)：
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]由于 \( u'(x) = 1 \) 且 \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \)：
\[ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]b) 令 \( w(x) = \sin(x) \) 且 \( z(x) = e^x \)。写为 \( g(x) = w(x)z(x) \)。
使用乘积法则公式 (I)：
\[ g'(x) = w'(x)z(x) + w(x)z'(x) \]由于 \( w'(x) = \cos(x) \) 且 \( z'(x) = e^x \)：
\[ g'(x) = \cos(x)e^x + \sin(x)e^x = (\cos x + \sin x)e^x \]例题 2
计算下列函数的导数：
\[ h(x) = (2x + 3)\cos(x)\ln x \]例题 2 解答
函数 \( h(x) \) 是三个函数的乘积。令 \( u = 2x + 3 \)、\( v = \cos(x) \) 且 \( w = \ln x \)，即 \( h(x) = u(x)v(x)w(x) \)。
应用三个函数的乘积法则：
\[ h'(x) = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x) \]求出各个单独的导数：
\[ u'(x) = 2, \quad v'(x) = -\sin(x), \quad w'(x) = \dfrac{1}{x} \]将这些表达式代入公式中：
\[ h'(x) = 2\cos(x)\ln x - (2x + 3)\sin(x)\ln x + \dfrac{(2x + 3)\cos(x)}{x} \]练习题
求下列函数的导数：
- \( f(x) = (3x - 5)\cos(x) \)
- \( g(x) = (-4x + 3)e^x \)
- \( h(x) = x^3 \sin(x)e^x \)
上述练习题的解答
- \( f'(x) = 3\cos(x) - (3x - 5)\sin(x) \)
- \( g'(x) = -4e^x + (-4x + 3)e^x = (-4x - 1)e^x \)
- \( h'(x) = 3x^2\sin(x)e^x + x^3\cos(x)e^x + x^3\sin(x)e^x = 3x^2\sin(x)e^x + (\cos(x) + \sin(x))x^3e^x \)