介绍了从求导乘积法则出发推导商法则的证明步骤，以及相关的例题、练习题和解答。
两个函数商的导数（证明）
设函数 \( f(x) \) 为两个函数 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 的商，记作：
\[ f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \qquad (1) \]将上式两边同乘以 \( v(x) \) 并化简：
\[ f(x)v(x) = u(x) \]对两边关于 \( x \) 求导：
\[ (f(x)v(x))' = u'(x) \]对左侧应用求导乘积法则：
\[ f'(x)v(x) + f(x)v'(x) = u'(x) \]解出方程中的 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - f(x)v'(x)}{v(x)} \]将 (1) 中的 \( f(x) \) 替换为 \( \dfrac{u(x)}{v(x)} \)：
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - \dfrac{u(x)}{v(x)}v'(x)}{v(x)} \]将分子通分并化简：
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \]经典例题与解答
例题 1
求下列函数的导数：
a) \( f(x) = \dfrac{x}{\ln x} \) b) \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
例题 1 解答
a) 令 \( u(x) = x \) 且 \( v(x) = \ln x \)。写为 \( f(x) = \dfrac{u}{v} \)。
使用商法则 (I)：
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (2) \]由于 \( u'(x) = 1 \) 且 \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \)：
\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot \ln x - x \cdot \dfrac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \]b) 令 \( w(x) = \sin x \) 且 \( z(x) = \cos x \)。写为 \( g(x) = \dfrac{w}{z} \)。
使用商法则 (I)：
\[ g'(x) = \dfrac{w'(x)z(x) - w(x)z'(x)}{(z(x))^2} \qquad (3) \]由于 \( w'(x) = \cos x \) 且 \( z'(x) = -\sin x \)：
\[ g'(x) = \dfrac{\cos x \cos x - \sin x(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]利用恒等式 \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \)：
\[ g'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]例题 2
计算下列函数的导数：
\[ h(x) = \dfrac{x \ln x}{\sin x \, e^x} \]例题 2 解答
令 \( u(x) = x \ln x \) 且 \( v(x) = \sin x \, e^x \)。写为 \( h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \)。
使用商法则 (I)：
\[ h'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (4) \]使用乘积法则计算 \( u'(x) \)：
\[ u'(x) = (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]使用乘积法则计算 \( v'(x) \)：
\[ v'(x) = (\sin x)'e^x + \sin x(e^x)' = \cos x \, e^x + \sin x \, e^x = (\cos x + \sin x)e^x \]代入 (4) 中：
\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)(\sin x \, e^x) - (x \ln x)((\cos x + \sin x)e^x)}{(\sin x \, e^x)^2} \]提取公因式并约去 \( e^x \)：
\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)\sin x - x \ln x(\cos x + \sin x)}{\sin^2 x \, e^x} \]练习题
求下列函数的导数：
- \( f(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin x} \)
- \( g(x) = \dfrac{-2x + 4}{e^x} \)
- \( h(x) = \dfrac{2x \, e^x}{x \sin x} \)
上述练习题的解答
- \( f'(x) = \dfrac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \)
- \( g'(x) = \dfrac{-2e^x - (-2x + 4)e^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{2(-x + 3)}{e^x} \)
- \( h'(x) = \dfrac{(2(1 + x)e^x)(x \sin x) - (2x \, e^x)(\sin x + x \cos x)}{(x \sin x)^2} = 2(\csc x - \cot x \csc x)e^x \)