How do you find the area under a curve using calculus?

The area under a curve from x1 to x2 is defined as the definite integral of the function f(x) with respect to x: Area = integral from x1 to x2 of f(x) dx.

曲线下的面积 – 公式、示例与解答

如何使用定积分求曲线下的面积；本教程配有例题和详细解答。页面底部提供了一组附有答案的练习题。同时包含了关于曲线间面积的教程。

曲线下的面积：复习

Approximation of area under a curve — **图 1.** 用矩形面积之和近似计算曲线下的面积。

我们可以通过把总面积划分成多个矩形，来近似计算从 \( x = x_1 \) 到 \( x = x_n \) 曲线下的面积。

例如，第一个矩形的面积由下式给出：

\[ y \Delta x = f(x_1)\Delta x \]

将这些矩形的面积相加得到：

\[ \text{Approximate Area} = \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]

如果在上述近似中 \( \Delta x \) 变得足够小，矩形面积的和将趋近于曲线下方面积的准确值。

因此，我们用极限来定义准确面积：

\[ \text{Exact Area} = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]

利用定积分的概念，这个极限记为：

用定积分定义面积： \[ \text{Exact Area} = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx \]

下面我们介绍几个如何使用积分求曲线下表面积的示例，并配有详细解答。

带详细解答的例题

例题 1

求由 \( y = 2x \)、\( y = 0 \)、\( x = 0 \) 和 \( x = 2 \) 所围成区域的面积。

area under curve, example 1, triangle — **图 2.** 曲线下的面积例题 1。

例题 1 解答

方法一：三角形面积的几何公式

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \; \text{unit}^2 \]

方法二：使用微积分（定积分）

令 \( f(x) = 2x \)：

\[ \text{Area} = \int_{0}^{2} (2x) \, dx = 2 \int_{0}^{2} x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 4 \; \text{unit}^2 \]

第一种方法对于三角形很快，但微积分适用于任意曲线。

例题 2

求由 \( y = 0.1x^3 \)、\( y = 0 \)、\( x = 2 \) 和 \( x = 4 \) 所围成区域的面积。

area under curve, example 2, 0.1 x^3 — **图 3.** 曲线下的面积例题 2。

例题 2 解答

使用定积分求面积：

\[ \begin{aligned} \text{Area} &= \int_{2}^{4} (0.1x^3)\,dx \\ &= 0.1 \int_{2}^{4} x^3\,dx \\ &= 0.1 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_2^4 \\ &= 0.1 \left( \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} \right) = 6 \; \text{unit}^2 \end{aligned} \]

例题 3

求由曲线 \( y = 3(x - 1)(x - 3) \) 与 x 轴所围成的有限区域的面积。

finite area between curve and x axis, example 3 — **图 4.** 曲线与 x 轴之间的有限面积。

例题 3 解答

积分的上限和下限是 x 截距，从因式分解形式可以清楚看出它们是 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \)。

\[ \begin{aligned} \int_{1}^{3} 3(x - 1)(x - 3)\,dx &= 3 \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3)\,dx \\ &= 3 \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_1^3 \\ &= 3 \left[ (9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3) \right] = -4 \end{aligned} \]

注意，定积分是负的，因为在 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 之间曲线位于 x 轴下方。实际面积取绝对值：\( |-4| = 4 \; \text{unit}^2 \)。

例题 4

求由曲线 \( y = -0.25x(x + 2)(x - 1)(x - 4) \) 与 x 轴所围成的有限区域的面积。

finite area between curve and x axis, example 4 — **图 5.** 曲线与 x 轴之间的有限面积。

例题 4 解答

x 截距为 \( x = -2 \)、\( x = 1 \) 和 \( x = 4 \)。该区域分为三部分：从 \( -2 \) 到 \( 0 \)，从 \( 0 \) 到 \( 1 \)，以及从 \( 1 \) 到 \( 4 \)。

区域 1（\( [-2, 0] \)）：

\[ I_1 = -0.25 \int_{-2}^{0} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = 3.4 \]

区域 2（\( [0, 1] \)）：

\[ I_2 = -0.25 \int_{0}^{1} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = -0.3625 \]

区域 3（\( [1, 4] \)）：

\[ I_3 = -0.25 \int_{1}^{4} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = 13.1625 \]

取负区域的绝对值，总面积为：

\[ \text{Area} = I_1 + |I_2| + I_3 = 3.4 + |-0.3625| + 13.1625 = 16.925 \; \text{unit}^2 \]

例题 5

求 \( k \)，使得由 \( y = -x(x - k) \) 与 x 轴围成的有限区域的面积等于 \( 4/3 \) 平方单位。

Find unknown k given area between curve and x axis, example 5 — **图 6.** 抛物线与 x 轴之间的有限面积。

例题 5 解答

截距在 \( x = 0 \) 和 \( x = k \) 处：

\[ \text{Area} = \int_{0}^{k} (-x^2 + kx) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{kx^2}{2} \right]_{0}^{k} = \frac{k^3}{6} \]

将其设为等于 \( 4/3 \)：

\[ \frac{k^3}{6} = \frac{4}{3} \implies k^3 = 8 \implies k = 2 \]

练习题

求由 \( y = -(x + 1)(x - 3) \) 和 \( y = 0 \) 封闭的有限区域的面积。
求由 \( y = \sin(x) \)、\( y = 0 \)、\( x = 0 \) 和 \( x = 2\pi \) 围成的有限区域的面积。
求 \( k > 0 \)，使得在垂直轴 \( x = 0 \)、\( x = k \) 以及 x 轴之间，曲线 \( y = x + 2 \) 下方的面积等于 \( 2 \)。

上述练习题的答案

\( \dfrac{32}{3} \)
\( 4 \)
\( k = 2\sqrt{2} - 2 \)