曲线之间的面积

我们首先画出这两个方程的图像，并检查曲线之间封闭的区域。

所求面积的区域上方由曲线 \( y = -x^2 + 6 \) 围成，下方由曲线 \( y = x^2 - 2x + 2 \) 围成。该区域的左右端点是曲线的交点，通过求解方程组求得：

\[ \begin{cases} y = x^2 - 2x + 2 \\ y = -x^2 + 6 \end{cases} \]

代入 \( y \) 得到一个关于一个变量的方程：

\[ x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 6 \]

改写为标准形式：

\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies 2(x + 1)(x - 2) = 0 \]

从而得出解：

\[ x = -1 \quad \text{and} \quad x = 2 \]

在交点之间，\( -x^2 + 6 \ge x^2 - 2x + 2 \)。令 \( f(x) = -x^2 + 6 \) 且 \( h(x) = x^2 - 2x + 2 \)，并应用公式 (1)：

\[ \begin{aligned} A &= \int_{-1}^{2} \big(f(x) - h(x)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big((-x^2 + 6) - (x^2 - 2x + 2)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big(-2x^2 + 2x + 4\big)\, dx \\ &= \Big[-\tfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\Big]_{-1}^{2} = 9 \end{aligned} \]

结论：曲线之间封闭区域的面积等于 \( 9 \)。

我们使用两种方法来检查该区域。

方法一：对 \( x \) 进行积分

从 \( x = -2 \) 到 \( x = 0 \) 的区域位于曲线 \( y = \sqrt{x + 2} \) 下方，因此其面积 \( A_1 \) 为：

\[ \begin{aligned} A_1 &= \int_{-2}^{0} \sqrt{x + 2}\, dx = \left[ \frac{2}{3} (x + 2)^{3/2} \right]_{-2}^{0} = \frac{2}{3} (2^{3/2}) \end{aligned} \]

从 \( x = 0 \) 到 \( y = \sqrt{x + 2} \) 和 \( y = x \) 的交点的区域：

\[ \sqrt{x + 2} = x \implies x + 2 = x^2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x = 2 \]

从 \( x = 0 \) 到 \( x = 2 \) 的面积 \( A_2 \) 为：

\[ \begin{aligned} A_2 &= \int_{0}^{2} \big(\sqrt{x + 2} - x\big)\, dx = \left[ \frac{2}{3}(x + 2)^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 - \frac{2}{3}(2)^{3/2} \end{aligned} \]

总面积：

\[ A_1 + A_2 = \dfrac{10}{3} \; \text{unit}^2 \]

方法二：对 \( y \) 进行积分

将 \( x \) 表示为 \( y \) 的函数：右侧曲线为 \( x = y \)，左侧曲线为 \( x = y^2 - 2 \)。\( y \) 的积分限从 \( y = 0 \) 到 \( y = 2 \)：

\[ \begin{aligned} \text{Area} &= \int_{0}^{2} \big( y - (y^2 - 2) \big)\, dy = \int_{0}^{2} \left( -y^2 + y + 2 \right)\, dy \\ &= \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 2y \right]_{0}^{2} = \frac{10}{3} \; \text{unit}^2 \end{aligned} \]

注意，第二种方法要快得多。

求交点，其中 \( \sin(x) = \cos(x) \implies \tan(x) = 1 \)。在 \( 0 \) 和 \( 2\pi \) 之间，解为 \( x = \pi/4 \) 和 \( x = 5\pi/4 \)。

我们将区域分为 3 个部分：

• 区域 1（\( 0 \) 到 \( \pi/4 \)）： \( \cos x \ge \sin x \) \[ A_1 = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} - 1 \]
• 区域 2（\( \pi/4 \) 到 \( 5\pi/4 \)）： \( \sin x \ge \cos x \) \[ A_2 = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x)\, dx = 2\sqrt{2} \]
• 区域 3（\( 5\pi/4 \) 到 \( 2\pi \)）： \( \cos x \ge \sin x \) \[ A_3 = \int_{5\pi/4}^{2\pi} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} + 1 \]

总面积 \( A = A_1 + A_2 + A_3 = 4\sqrt{2} \; \text{unit}^2 \)。

求 \( y = 3x - x^2 \) 与 \( y = 0.5x \) 的交点：

\[ 3x - x^2 = 0.5x \implies 2.5x - x^2 = 0 \implies x(2.5 - x) = 0 \implies x = 0, \; x = 2.5 \]

区域 A 的面积：

\[ A = \int_{0}^{2.5} (3x - x^2 - 0.5x)\, dx = \int_{0}^{2.5} (2.5x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{2.5x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{2.5} = \dfrac{125}{48} \; \text{units}^2 \]

曲线 \( y = 3x - x^2 \) 从 \( x = 0 \) 到 \( x = 3 \) 下方的总面积：

\[ A_t = \int_{0}^{3} (3x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{3x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{3} = \dfrac{9}{2} \; \text{units}^2 \]

区域 B 的面积为 \( B = A_t - A \)。比值 \( r = \dfrac{A}{B} = \dfrac{A}{A_t - A} = \dfrac{125/48}{9/2 - 125/48} = \dfrac{125}{91} \)。

展开第二个圆的方程：\( x^2 + y^2 - 4y + 4 = 1 \)。从 \( x^2 + y^2 = 4 \) 中减去该式得出 \( y = 7/4 \)。代入 \( x^2 + y^2 = 4 \) 得出 \( x = \pm\sqrt{15}/4 \)。

上曲线为 \( y = \sqrt{4 - x^2} \)，下曲线为 \( y = 2 - \sqrt{1 - x^2} \)。根据对称性，从 \( x = 0 \) 到 \( x = \sqrt{15}/4 \) 的面积的一半 \( A' \) 为：

\[ A' = \int_{0}^{\sqrt{15}/4} \left(\sqrt{4 - x^2} - 2 + \sqrt{1 - x^2}\right) dx \approx 0.70153 \]

总重叠面积 \( A = 2A' \approx 1.4 \; \text{unit}^2 \)。