本教程旨在讲解如何求包含 \( \sin(x) \) 或 \( \cos(x) \) 与指数函数乘积的积分。页面底部提供了解答练习题。
以下例题中包含的所有积分均使用分部积分法进行计算，公式如下：
\[ \int U \dfrac{dV}{dx} \, dx = UV - \int \dfrac{dU}{dx} V \, dx \]分部积分法对于计算形式为 \( U \dfrac{dV}{dx} \) 的函数乘积积分特别有用。
注意：在下文中，\( C \) 表示积分常数。
带详细解答的例题
例题 1
求积分：
\[ \int \sin(x) e^x \, dx \]例题 1 解答
令 \( u = \sin(x) \) 且 \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \)，从而得到 \( u' = \cos(x) \) 且 \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \)。
使用分部积分法：
\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \int \cos(x)e^x \, dx \]对项 \( \displaystyle \int \cos(x)e^x \, dx \) 再次应用分部积分法：
\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \left( \cos(x)e^x - \int (-\sin(x))e^x \, dx \right) \] \[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x - \int \sin(x)e^x \, dx \]由于右侧的积分与原积分相同，我们可以通过在两边同时加上 \( \int \sin(x)e^x \, dx \) 将它们合并：
\[ 2 \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x \]两边同除以 2 得到最终结果：
\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \dfrac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \]例题 2
求积分：
\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx \]例题 2 解答
令 \( u = \cos(2x) \) 且 \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \)，从而得到 \( u' = -2\sin(2x) \) 且 \( v = e^x \)。
应用分部积分法：
\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x - \int e^x (-2\sin(2x)) \, dx \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2 \int e^x \sin(2x) \, dx \end{aligned} \]对新积分 \( \int e^x \sin(2x) \, dx \) 应用分部积分法（令 \( w = \sin(2x) \) 且 \( dw/dx = e^x \)）：
\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x + 2 \left( \sin(2x)e^x - 2 \int \cos(2x)e^x \, dx \right) \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2\sin(2x)e^x - 4 \int \cos(2x)e^x \, dx \end{aligned} \]将相同的积分移项合并到左侧：
\[ 5 \int \cos(2x)e^x \, dx = e^x (\cos(2x) + 2\sin(2x)) \]因此，该积分为：
\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx = \dfrac{1}{5} e^x ( \cos(2x) + 2 \sin(2x) ) + C \]例题 3
求积分：
\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx \]例题 3 解答
令 \( u = \sin(3x + 2) \) 且 \( \dfrac{dv}{dx} = e^{3x} \)，从而得到 \( u' = 3\cos(3x + 2) \) 且 \( v = \dfrac{1}{3}e^{3x} \)。
应用分部积分法：
\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3}\sin(3x + 2)e^{3x} - \int \cos(3x + 2) \left(\dfrac{1}{3}e^{3x}\right) \, dx \]对 \( \int \cos(3x + 2) e^{3x} \, dx \) 再应用一次分部积分法：
\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - \left( \dfrac{1}{3}\cos(3x + 2)e^{3x} + \int \sin(3x + 2)e^{3x} \, dx \right) \]合并积分项：
\[ 2 \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} e^{3x} \left( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) \right) \]两边同除以 2：
\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{6} e^{3x} ( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) ) + C \]例题 4
求积分：
\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx \]例题 4 解答
令 \( u = \cos(4x) \) 且 \( \dfrac{dv}{dx} = e^{2x + 5} \)。连续应用两次分部积分法：
\[ \begin{aligned} \int \cos(4x)e^{2x + 5} \, dx &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \int e^{2x + 5} \sin(4x) \, dx \\[6pt] &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \left( \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \sin(4x) - 2 \int e^{2x + 5} \cos(4x) \, dx \right) \end{aligned} \]化简并移项合并：
\[ 5 \int \cos(4x) e^{2x+5} \, dx = \dfrac{1}{2} e^{2x+5} \cos(4x) + e^{2x+5} \sin(4x) \]两边同除以 5 得到最终解答：
\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \dfrac{1}{10} e^{2x + 5} ( \cos(4x) + 2 \sin(4x) ) + C \]练习题
计算下列积分：
- \( \displaystyle \int \cos(x) \, e^x \, dx \)
- \( \displaystyle \int \sin(2x) \, e^{3x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \cos(-3x + 5) \, e^{5x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \sin(-4x + 3) \, e^{-2x + 1} \, dx \)
上述练习题的答案
- \( \dfrac{1}{2} e^x ( \cos(x) + \sin(x) ) + C \)
- \( \dfrac{1}{13} e^{3x} ( 3 \sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C \)
- \( \dfrac{1}{34} e^{5x} ( 5 \cos(-3x + 5) - 3 \sin(-3x + 5) ) + C \)
- \( \dfrac{1}{10} e^{-2x + 1} ( 2 \cos(-4x + 3) - \sin(-4x + 3) ) + C \)