如何使用微积分求球冠的体积？

求球冠体积使用定积分和圆盘法，通过将曲线 y = sqrt(R^2 - x^2) 从 x = R - h 到 x = R 绕 x 轴旋转，从而得到公式 V = (pi / 3)(3Rh^2 - h^3)。

球冠的体积 – 公式、推导与微积分

球冠的体积使用积分以及“旋转体的体积”中所使用的圆盘法求得。

球冠定义为平面截去球体的一部分。

作为球体一部分的球冠

考虑半径为 \( R \) 且高为 \( h \) 的球冠。球冠可以通过将代表半圆的曲线 \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) 绕 x 轴旋转生成，其中 \( x \) 的范围为 \( R - h \le x \le R \)。

二维中的球冠

考虑一个宽度为 \( dx \)、半径等于 \( y \) 的小圆盘（如图中虚线所示）。该圆盘的体积由 \( \pi y^2 \, dx \) 给出，因此对 \( x \) 在区间 \( [R - h, R] \) 上积分即可得到球冠的总体积：

\[ \text{Volume} = \int_{R-h}^{R} \pi y^2 \, dx \]

由于 \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \)，体积积分变为：

\[ \text{Volume} = \pi \int_{R-h}^{R} (R^2 - x^2) \, dx \]

计算积分：

\[ \text{Volume} = \pi \left[ R^2 x - \dfrac{1}{3}x^3 \right]_{R-h}^{R} \]

代入上下限：

\[ \text{Volume} = \pi \left\{ \left( R^3 - \dfrac{1}{3}R^3 \right) - \left( R^2(R - h) - \dfrac{1}{3}(R - h)^3 \right) \right\} \]

化简上述代数表达式，得到最终的体积公式：

\[ \Large \displaystyle \color{red}{\text{Volume} = \dfrac{\pi}{3}(3Rh^2 - h^3)} \]