罗尔定理问题与示例

罗尔定理

罗尔定理是中值定理的直接推论：在 \( f(x) \) 是区间 \( [a, b] \) 上的连续函数且在开区间 \( (a, b) \) 上可导的条件下，存在至少一个 \( x \) 的值 \( c \)，使得：

现在，如果同时满足条件 \( f(a) = f(b) \)，则上式简化为：\( f'(c) = 0 \)。

换句话说，在这三个条件下，我们总是可以找到一条水平的切线（斜率 = \( f'(c) = 0 \)`）。

带有详细解答的例题

点击每个例题以查看其详细的分步解答。

例题 1

函数 \( f(x) = -x^2 + 6x - 6 \) 在 \( 1 \le x \le 5 \) 上的图像如下所示。\( f(1) = f(5) = -1 \)，且 \( f \) 在 \( [1, 5] \) 上连续并在 \( (1, 5) \) 上可导，因此根据罗尔定理，存在至少一个 \( x = c \) 的值，使得 \( f'(c) = 0 \)。

显示例题 1 的解答

\[ f'(x) = -2x + 6 \] \[ f'(c) = -2c + 6 = 0 \]

求解上述方程可得：

\[ c = 3 \]

因此，在 \( x = 3 \) 处，存在一条斜率为零（水平线）的切线，如图 1 所示。

例题 2

函数 \( f(x) = \sin(x) + 2 \) 在 \( 0 \le x \le 2\pi \) 上的图像如下所示。\( f(0) = f(2\pi) = 2 \)，且 \( f \) 在 \( [0, 2\pi] \) 上连续并在 \( (0, 2\pi) \) 上可导，因此根据罗尔定理，存在至少一个（可能有多个！）\( x = c \) 的值，使得 \( f'(c) = 0 \)。

显示例题 2 的解答

\[ f'(x) = \cos(x) \] \[ f'(c) = \cos(c) = 0 \]

上述方程在区间 \( [0, 2\pi] \) 上有两个解：

\[ c_1 = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{和} \quad c_2 = \dfrac{3\pi}{2} \]

因此，在 \( x = \dfrac{\pi}{2} \) 和 \( x = \dfrac{3\pi}{2} \) 处，图象都有斜率为零（水平线）的切线，如图 2 所示。

例题 3

图 3 中的函数 \( f \) 不满足罗尔定理：尽管它是连续的且 \( f(-1) = f(3) \)，但该函数在 \( x = 1 \) 处不可导，因此不保证在区间 \( (-1, 3) \) 内存在使 \( f'(c) = 0 \) 的 \( c \)。事实上，很容易看出在区间 \( (-1, 3) \) 上该函数的图象没有水平切线。

带有详细解答的练习题

点击每个问题以查看其详细的分步解答。

练习题 1

下面给出的函数中，哪一个满足罗尔定理的所有三个条件？

a) \( f(x) = \cos(x) \)，对于 \( x \) 在 \( [0, 2\pi] \) 内
b) \( g(x) = |x - 2| \)，对于 \( x \) 在 \( [0, 4] \) 内
c) \( h(x) = \dfrac{1}{x^2} \)，对于 \( x \) 在 \( [-1, 1] \) 内
d) \( k(x) = |\sin(x)| \)，对于 \( x \) 在 \( [0, 2\pi] \) 内

显示练习题 1 的解答

a) \( f(0) = 1 \) 且 \( f(2\pi) = 1 \)，因此 \( f(0) = f(2\pi) \)。\( f \) 在 \( [0, 2\pi] \) 上连续，在 \( (0, 2\pi) \) 上可导。函数 \( f \) 满足罗尔定理的所有条件。

b) 函数 \( g \) 的图象呈 V 形，顶点在 \( x = 2 \) 处，因此在 \( x = 2 \) 处不可导。函数 \( g \) 不满足罗尔定理的所有条件。

c) 函数 \( h \) 在 \( x = 0 \) 处无定义。函数 \( h \) 不满足罗尔定理的所有条件。

d) \( k(x) = |\sin(x)| \)，对于 \( x \) 在 \( [0, 2\pi] \) 内。函数 \( k \) 的图象如下所示，表明函数 \( k \) 在 \( x = \pi \) 处不可导。函数 \( k \) 不满足罗尔定理的所有条件。

练习题 2

检查函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) 在区间 \( [1, 3] \) 上是否满足罗尔定理的所有条件，然后求出所有使 \( f'(c) = 0 \) 的 \( x = c \) 的值。

显示练习题 2 的解答

\( f \) 是多项式函数，因此在区间 \( [1, 3] \) 上连续，在区间 \( (1, 3) \) 上可导。此外，\( f(1) = f(3) = 0 \)，因此函数 \( f \) 满足罗尔定理的所有三个条件，从而保证存在至少一个使 \( f'(c) = 0 \) 的 \( x = c \) 的值。

\[ f'(x) = 2x - 4 \] \[ f'(c) = 2c - 4 = 0 \implies c = 2 \]

下面的图象显示了 \( f \)，在 \( x = c = 2 \) 处的切线是水平的，且 \( f'(2) = 0 \)。

练习题 3

检查函数 \( g(x) = \cos(x) \) 在区间 \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) 上是否满足罗尔定理的所有条件，然后求出所有使 \( g'(c) = 0 \) 的值 \( x = c \)。

显示练习题 3 的解答

函数 \( g \) 是余弦函数，因此在区间 \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) 上连续，在区间 \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right) \) 上可导。另外：

\[ g\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = g\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \]

因此，函数 \( g \) 满足罗尔定理的所有三个条件，并且存在至少一个使 \( g'(c) = 0 \) 的 \( x = c \) 的值。

\[ g'(x) = -\sin(x) \] \[ g'(c) = -\sin(c) = 0 \implies c = n\pi, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \]

在区间 \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) 上的解为：

\[ c_1 = 0 \quad \text{和} \quad c_2 = \pi \]

下面的图象显示了 \( g \)，在 \( x = c_1 = 0 \) 和 \( x = c_2 = \pi \) 处的切线是水平的，且 \( g'(0) = 0 \) 且 \( g'(\pi) = 0 \)。

更多参考资料与链接

• 与中值定理相关的问题
• 微积分中的连续函数
• 不可导函数
• 微积分教程与问题