在这里，我们逐步学习如何求 tan(x) 的导数。利用三角恒等式 \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)，结合 \( \sin x \) 和 \( \cos x \) 的已知导数，我们应用求导商法则推导出公式 \( \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x \)。我们还将此结果通过链式法则推广到形如 \( \tan(u(x)) \) 的复合函数，并通过几个示例来加深理解。
计算 tan(x) 的导数
将 \( \tan x \)、\( \sin x \) 和 \( \cos x \) 联系起来的三角恒等式为：
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]求 \( \tan x \) 导数的一种方法是使用求导的商法则；因此：
\[ \frac{d}{dx} \tan x = \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \frac{\left(\frac{d}{dx}\sin x\right)\cos x - \sin x \left(\frac{d}{dx}\cos x\right)}{\cos^2 x} \]利用三角函数 \( \sin x \) 和 \( \cos x \) 的导数公式（即 \( \frac{d}{dx}\sin x = \cos x \) 和 \( \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x \)），代入后得到：
\[ \frac{d}{dx} \tan x = \frac{\cos x \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} \]化简：
\[ = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]
结论：
\[ \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x \]
tan(x) 及其导数的图像
\( \tan(x) \) 及其导数的图像如下所示：
-and-its-derivative.gif)
复合函数 tan(u(x)) 的导数
现在我们有一个复合函数，它是另一个函数（\( u \)）的函数（正切）。使用微积分中的链式法则写作：
\[ \frac{d}{dx} \tan(u(x)) = \left(\frac{d}{du} \tan u\right) \left(\frac{d}{dx} u\right) \]化简：
\[ = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} \]
结论：
\[ \frac{d}{dx} \tan(u(x)) = \sec^2 u \frac{du}{dx} \]
经典例题与解答
例 1：求复合正切函数的导数
求下列函数的导数：
- \( f(x) = \tan(2x - 1) \)
- \( g(x) = \tan(\cos x) \)
- \( h(x) = \tan\left(\frac{x-1}{x+2}\right) \)
解答：
- 令 \( u(x) = 2x - 1 \)，因此 \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2 \)。应用规则： \[ \frac{d}{dx} f(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(2x - 1) \cdot 2 = 2\sec^2(2x - 1) \]
- 令 \( u(x) = \cos x \)，因此 \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x \)。应用规则： \[ \frac{d}{dx} g(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \sec^2(\cos x) \]
- 令 \( u(x) = \frac{x-1}{x+2} \)，因此 \( \frac{du}{dx} = \frac{3}{(x+2)^2} \)（使用商法则）。应用规则： \[ \frac{d}{dx} h(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2\left(\frac{x-1}{x+2}\right) \cdot \frac{3}{(x+2)^2} = \frac{3\sec^2\left(\frac{x-1}{x+2}\right)}{(x+2)^2} \]