我们使用导数的定义来证明 \( \cos(x) \) 导数的公式。文中还通过链式法则介绍了复合函数 \( \cos(u(x)) \) 的导数，并配有详细的例题解答。
使用导数定义证明
函数 \( f \) 导数的定义为：
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]设 \( f(x) = \cos x \)。则：
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} \]利用三角恒等式：
\[ \cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h \]我们得到：
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} \]分离极限：
\[ f'(x) = \cos x \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} \]利用标准结果：
\[ \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \] \[ \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0 \]我们得到：
\[ f'(x) = \cos x(0) - \sin x(1) = -\sin x \]
公式：
\[ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \]
cos(x) 及其导数的图像
\( \cos x \) 及其导数的图像如下所示。\( \cos x \) 的极大值和极小值对应其导数的零点。
-and-its-derivative.gif)
复合函数 cos(u(x)) 的导数
使用链式法则：
\[ \frac{d}{dx}\cos(u(x)) = \frac{d}{du}(\cos u) \cdot \frac{du}{dx} \] \[ = -\sin u \cdot \frac{du}{dx} \]
链式法则公式：
\[ \frac{d}{dx}\cos(u(x)) = -\sin(u(x))\,u'(x) \]
经典例题与解答
经典例题：求复合余弦函数的导数
求下列函数的导数：
- \( f(x) = \cos(2x + 2) \)
- \( g(x) = \cos(\tan x) \)
- \( h(x) = \cos\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \)
解答：
-
令 \( u = 2x + 2 \)，则 \( u' = 2 \)。
\[ f'(x) = -2\sin(2x + 2) \] -
令 \( u = \tan x \)，则 \( u' = \sec^2 x \).
\[ g'(x) = -\sin(\tan x)\sec^2 x \] -
令 \( u = \frac{x^2}{x^2+1} \)。使用商法则：
\[ u' = \frac{2x(x^2+1) - x^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \] \[ h'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} \sin\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \]