介绍了几个与三角函数极限相关的示例及详细解答，并附带了带有答案的练习题。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
例题与解答
点击每个例题以查看其详细的分步解答。
例题 1
求极限：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} \]显示例题 1 的解答
让我们将分子和分母同乘以 \( 1 + \cos x \)，并写为：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} \cdot \dfrac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \]分子变为 \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \)，因此：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos x} \]该极限可以写为：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \right) = (1) \left(\dfrac{0}{2}\right) = 0 \]我们使用了定理：\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \)。
例题 2
求极限：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} \]显示例题 2 的解答
令 \( t = 4x \)。当 \( x \) 趋近于 0 时，\( t \) 趋近于 0，因此：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \]我们现在使用定理 \( \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \) 来求极限：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \]例题 3
求极限：
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6x}{5x} \]显示例题 3 的解答
令 \( t = 6x \)，即 \( x = t / 6 \)。当 \( x \) 趋近于 0 时，\( t \) 趋近于 0，因此：
\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6x}{5x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{5t/6} \] \[ = \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{6}{5}\right) \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \cdot 1 = \dfrac{6}{5} \]例题 4
求极限：
\[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 + 7x + 12} \]显示例题 4 的解答
如果我们应用商的极限法则，将得到未定式 \( \dfrac{0}{0} \)。我们需要寻找另一种方法。对于 \( x = -3 \)，分母等于零，因此可以因式分解，故：
\[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 + 7x + 12} = \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{(x + 3)(x + 4)} \]令 \( t = x + 3 \)，即 \( x = t - 3 \)。当 \( x \) 趋近于 \( -3 \) 时，\( t \) 趋近于 0：
\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t(t + 1)} \]我们现在应用积的极限法则：
\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t + 1} \] \[ = 1 \cdot 1 = 1 \]例题 5
求极限：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \]显示例题 5 的解答
我们将分别求当 \( x \) 从左侧趋近于 0 以及从右侧趋近于 0 时的极限。对于 \( x < 0 \)，\( |x| = -x \)：
\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin(-x)}{x} = -\lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} = -1 \]对于 \( x > 0 \)，\( |x| = x \)：
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]左右两侧的极限值不同，因此上述极限不存在：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \quad \text{不存在} \]例题 6
求极限：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \]Show Solution to Example 6
我们首先使用三角恒等式 \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \)：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{\dfrac{\sin x}{x}} \]我们现在使用商的极限法则：
\[ = \dfrac{\lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)} = \dfrac{1}{1} = 1 \]例题 7
求极限：
\[ \lim_{x \to 0} x \csc x \]显示例题 7 的解答
我们首先使用三角恒等式 \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \)：
\[ \lim_{x \to 0} x \csc x = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}} \]使用商的极限：
\[ = \dfrac{1}{1} = 1 \]练习题
计算下列极限。点击每个练习以检查答案。
练习 1
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{\sin 8x} \)
显示答案
练习 2
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan 3x}{x} \)
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练习 3
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \sqrt{x} \, \csc (4 \sqrt{x}) \)
显示答案
练习 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 3x}{x \sin(x^2)} \)