可以利用 \( \sin x \) 和 \( \cos x \) 的导数以及商法则来计算 \( \cot(x) \) 的导数。文中还通过经典例题介绍了复合余切函数的导数。
cot(x) 导数的证明
利用三角恒等式：
\[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \]并结合商法则，我们有：
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{\left(\frac{d}{dx} \cos x\right) \cdot \sin x - \cos x \cdot \left(\frac{d}{dx} \sin x\right)}{\sin^2 x} \]代入 \( \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \) 和 \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \)：
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{(-\sin x)(\sin x) - \cos x (\cos x)}{\sin^2 x} = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \]
公式：
\[ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x \]
cot(x) 及其导数的图像
\( \cot x \) 及其导数的图像如下所示。由于 \( \cot x \) 是单调递减的，因此其导数在各处均为负值。
-and-its-derivative.gif)
复合函数 cot(u(x)) 的导数
使用链式法则：
\[ \frac{d}{dx} \cot(u(x)) = \frac{d}{du}(\cot u) \cdot \frac{du}{dx} = -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \]
链式法则公式：
\[ \frac{d}{dx} \cot(u(x)) = -\csc^2(u(x))\,u'(x) \]
经典例题与解答
经典例题：求复合余切函数的导数
求下列函数的导数：
- \( f(x) = \cot(x^3 - 2x + 2) \)
- \( g(x) = \cot(e^x) \)
- \( h(x) = \cot\left(\frac{-2}{x^3 + 2}\right) \)
解答：
-
令 \( u = x^3 - 2x + 2 \)，则 \( u' = 3x^2 - 2 \)。
\[ f'(x) = -\csc^2(u) \cdot u' = -(3x^2 - 2)\csc^2(x^3 - 2x + 2) \] -
令 \( u = e^x \)，则 \( u' = e^x \)。
\[ g'(x) = -\csc^2(e^x) \cdot e^x = -e^x \csc^2(e^x) \] -
令 \( u = \frac{-2}{x^3+2} \)。使用商法则或幂法则：
\[ u' = \frac{0 - (-2)(3x^2)}{(x^3+2)^2} = \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \] \[ h'(x) = -\csc^2\left(\frac{-2}{x^3+2}\right) \cdot \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} = -\frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \csc^2\left(\frac{2}{x^3+2}\right) \]