可以利用导数的商法则来计算 \( \sec(x) \) 的导数。
sec(x) 导数的证明
关联 \( \sec x \) 和 \( \cos x \) 的三角恒等式为：
\[ \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \]我们使用求导的商法则来求 \( \sec x \) 的导数：
\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{\cos x}\right) = \dfrac{\left(\dfrac{d}{dx}1\right) \cos x - 1 \left(\dfrac{d}{dx} \cos x\right)}{\cos^2 x} \]常数 1 的导数等于零。代入三角函数 \( \cos x \) 的求导公式 \( \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x \)，得到：
\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{0 - (-\sin x)}{\cos^2 x} \]化简：
\[ = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} = \tan x \sec x \]
公式：
\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \tan x \; \sec x \]
sec(x) 及其导数的图像
\( \sec(x) \) 及其导数的图像如下所示：
-and-its-derivative.gif)
复合函数 sec(u(x)) 的导数
我们现在考虑另一个函数 \( u(x) \) 的复合正割函数。使用微积分的求导链式法则可写为：
\[ \dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sec u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right) \] \[ = \tan u \sec u \dfrac{du}{dx} \]
链式法则公式：
\[ \dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \tan(u(x)) \; \sec(u(x)) \; u'(x) \]
经典例题与解答
经典例题：求复合正割函数的导数
求下列复合正割函数的导数：
- \( f(x) = \sec(x^2 + x - 1) \)
- \( g(x) = \sec(\sin x) \)
- \( h(x) = \sec(\sqrt{x+2}) \)
解答：
-
令 \( u(x) = x^2 + x - 1 \)，则 \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 \)。
应用复合正割函数法则： \[ f'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = (2x + 1) \, \tan(x^2 + x - 1) \, \sec(x^2 + x - 1) \] -
令 \( u(x) = \sin x \)，则 \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \)。
应用公式： \[ g'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \cos x \, \tan(\sin x) \, \sec(\sin x) \] -
令 \( u(x) = \sqrt{x+2} \)，则 \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \)。
应用公式： \[ h'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \dfrac{\tan(\sqrt{x+2}) \, \sec(\sqrt{x+2})}{2\sqrt{x+2}} \]