微积分中函数的极限

注意，我们求的是当 \( x \) 从左侧趋近于 1 时的极限（\( x \to 1^- \) 意味着 \( x \) 从小于 1 的值趋近于 1）。因此：

\[ x < 1 \] \[ x - 1 < 0 \]

如果 \( x - 1 < 0 \)，那么：

\[ |x - 1| = -(x - 1) \]

对分子因式分解并化简：

\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} \] \[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]

最终答案为：

\[ \boxed{-4} \]

虽然所求极限是两个多项式的比值，但 \( x = 5 \) 会使分子和分母同时等于零。我们需要对分子和分母进行因式分解，如下所示。

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)(x + 6)} \]

化简得到：

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x^2 + x - 30} = \lim_{x \to 5} \dfrac{x + 5}{x + 6} = \dfrac{10}{11} \]

最终答案为：

\[ \boxed{\dfrac{10}{11}} \]

我们需要考察从 2 的左侧和从 2 的右侧趋近时的极限。

当 \( x \) 从左侧趋近于 2（\( x \to 2^- \)）时，\( x - 2 < 0 \)，因此：

\[ |x - 2| = -(x - 2) \]

代入并求出从左侧趋近的极限：

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{-(x - 2)} \]

对分子因式分解 \( x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6) \)：

\[ = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{-(x - 2)} = \lim_{x \to 2^-} -(x + 6) = -8 \]

当 \( x \) 从右侧趋近于 2（\( x \to 2^+ \)）时，\( x - 2 > 0 \)，因此：

\[ |x - 2| = x - 2 \]

代入并求出从右侧趋近的极限：

\[ \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} (x + 6) = 8 \]

从右侧趋近的极限（8）与从左侧趋近的极限（-8）不相等，因此给定的双侧极限不存在。

当 \( x \) 从右侧趋近于 -1 时，\( \sqrt[3]{x+1} \) 趋近于 0，\( \ln(x+1) \) 趋近于 \( -\infty \)，因此呈现 \( 0 \times (-\infty) \) 的未定式。

\[ \lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x+1} \, \ln(x+1) = 0 \cdot (-\infty) \]

让我们改写极限，使其成为 \( \dfrac{\infty}{\infty} \) 的未定式。

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^{-1/3}} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]

现在我们应用洛必达法则求极限。

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{d}{dx}[\ln(x+1)]}{\dfrac{d}{dx}[(x+1)^{-1/3}]} = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}}{-\dfrac{1}{3}(x+1)^{-4/3}} \] \[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x+1} \cdot \left( -\dfrac{3}{(x+1)^{-4/3}} \right) = \lim_{x \to -1^+} -3 (x+1)^{1/3} = 0 \]

因此，极限为 0。

\[ \boxed{0} \]

随着 \( x \) 变大，\( x + 1 \) 变大，\( \dfrac{1}{x+1} \) 趋近于零，\( e^{1/(x+1)} \) 趋近于 1，\( e^{1/(x+1)} - 1 \) 趋近于 0；因此呈现 \( \infty \times 0 \) 的未定式。

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -\infty \cdot 0 \]

让我们改写极限，使其成为 \( \dfrac{0}{0} \) 的未定式：

\[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{0}{0} \]

应用洛必达法则求极限：

\[ \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = -\lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right)}{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)} \] \[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)e^{\dfrac{1}{x+1}}}{-\dfrac{1}{(x+1)^2}} = \lim_{x \to \infty} -e^{\dfrac{1}{x+1}} = -1 \]

因此：

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -1 \]

当 \( x \) 趋近于 9 时，分子和分母都趋近于 0。将分子和分母同时乘以分子的共轭项：

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} \]

展开并化简：

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} \]

现在通过直接代入求极限：

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{1}{6} \]

余弦函数的值域为：

\[ -1 \le \cos x \le 1 \]

对于 \( x > 0 \)，将上述不等式的各项都除以 \( x \)：

\[ -\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le \dfrac{1}{x} \]

现在当 \( x \to +\infty \) 时，\( -\dfrac{1}{x} \) 和 \( \dfrac{1}{x} \) 都趋近于 0。因此，根据夹逼定理，极限为：

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3 \cos x}{x} = 0 \]

当 \( t \) 趋近于 0 时，分子和分母都趋近于 0，我们得到 \( 0 / 0 \) 的未定式。

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \dfrac{0}{0} \]

因此，使用洛必达法则来计算上述极限，如下所示：

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\dfrac{d}{dt}(\sin t - t)}{\dfrac{d}{dt}(\tan t)} \] \[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\cos t - 1}{\sec^2 t} = \dfrac{0}{1} = 0 \]

我们首先将根号下的 \( 16x^2 \) 提取出来，移到根号外面，并将极限改写为：

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4|x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} \]

由于 \( x \) 趋近于更大的正值（无穷大），因此 \( |x| = x \)，且 \( \dfrac{1}{16x^2} \) 趋近于 0。化简并求极限：

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4x \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} = \dfrac{3}{4} \]

当 \( x \) 从左侧趋近于 2 时，\( x - 2 \) 从左侧趋近于 0，即 \( x - 2 < 0 \)。分子趋近于 5，分母从左侧趋近于 0，因此极限由下式给出：

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 1}{x - 2} = -\infty \]

在分母中提出 \( x^2 \) 并化简：

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{x^2\left(4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)} \]

当 \( x \) 取大值（无穷大）时，项 \( \dfrac{2}{x} \) 和 \( \dfrac{1}{x^2} \) 趋近于 0。因此极限为：

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{4x^2} = \dfrac{3}{4} \]

将分子和分母同时乘以 \( t \)：

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{t} \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

通过代数变形重写表达式：

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot \dfrac{3t}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot 3 \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

使用已知极限 \( \lim_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1 \)。令 \( u = 3t \)，当 \( t \to 0 \) 时，\( u \to 0 \)：

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} = 1 \]

同样：

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\sin(t)} = 1 \]

因此，极限为：

\[ = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3 \]

在平方根内部提取 \( x^2 \)：

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)} - x \right) \]

利用 \( \sqrt{x^2} = |x| \) 的性质：

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2} \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \lim_{x \to 0} \left( |x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) \]

由于 \( x \) 取更大的正值（无穷大），所以 \( |x| = x \)，且 \( \dfrac{1}{x} \) 和 \( \dfrac{1}{x^2} \) 都趋近于 0。因此我们得到 \( \infty - \infty \) 的未定式：

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( x \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \infty - \infty \]

重新从给定极限开始，将分子和分母同乘共轭项并化简：

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) \left( \sqrt{x^2 + x + 1} + x \right) }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \] \[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x^2 + x + 1 - x^2 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x + 1 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \]

从分子和分母中提出 \( x \) 并化简：

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) }{ x \left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 \right) } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ 1 + \dfrac{1}{x} }{ \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 } \]

当 \( x \) 变大时，\( \dfrac{1}{x} \) 和 \( \dfrac{1}{x^2} \) 项趋近于零，极限计算结果为：

\[ = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} \]

令 \( z = 1 / x \)，这样当 \( x \) 变大时，\( z \) 趋近于 0。代入并计算极限：

\[ = \lim_{z \to 0} \dfrac{\sin z}{z} = 1 \]

\[ 3 \]

\[ 1 \]

\[ 1 \]

\[ \dfrac{1}{4} \]

\[ 0 \]

\[ 4 \]